Номер 24, страница 145 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

24. В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $E, F, G$ — середины ребер соответственно $AB, AD, CD$. Найдите угол $EFG$.

Дано:

Правильный тетраэдр $ABCD$.
Точки $E$, $F$, $G$ — середины ребер $AB$, $AD$, $CD$ соответственно.

Найти:

Угол $EFG$.

Решение:

Пусть $a$ — длина ребра правильного тетраэдра $ABCD$. Поскольку тетраэдр правильный, все его грани являются равносторонними треугольниками, и длины всех его ребер равны $a$.

1. Рассмотрим отрезок $EF$. Точка $E$ является серединой ребра $AB$. Точка $F$ является серединой ребра $AD$. Отрезок $EF$ является средней линией треугольника $ABD$. По свойству средней линии треугольника, $EF$ параллелен $BD$ и его длина равна половине длины стороны $BD$. Так как $BD$ — ребро тетраэдра, $BD = a$. Следовательно, $EF = \frac{1}{2} BD = \frac{a}{2}$.

2. Рассмотрим отрезок $FG$. Точка $F$ является серединой ребра $AD$. Точка $G$ является серединой ребра $CD$. Отрезок $FG$ является средней линией треугольника $ACD$. По свойству средней линии треугольника, $FG$ параллелен $AC$ и его длина равна половине длины стороны $AC$. Так как $AC$ — ребро тетраэдра, $AC = a$. Следовательно, $FG = \frac{1}{2} AC = \frac{a}{2}$.

3. Рассмотрим отрезок $EG$. Точка $E$ является серединой ребра $AB$. Точка $G$ является серединой ребра $CD$. Ребра $AB$ и $CD$ являются противоположными (скрещивающимися) ребрами правильного тетраэдра. Расстояние между серединами двух скрещивающихся ребер правильного тетраэдра со стороной $a$ равно $\frac{a}{\sqrt{2}}$. Следовательно, $EG = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

4. Теперь рассмотрим треугольник $EFG$. Мы определили длины всех его сторон: $EF = \frac{a}{2}$
$FG = \frac{a}{2}$
$EG = \frac{a}{\sqrt{2}}$

Проверим, выполняется ли для этих длин сторон теорема Пифагора. Возведем длины сторон в квадрат: $EF^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4}$
$FG^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4}$
$EG^2 = \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{a^2}{2}$

Сложим квадраты длин двух сторон: $EF^2 + FG^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$.

Мы видим, что $EF^2 + FG^2 = EG^2$. По обратной теореме Пифагора, если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то треугольник является прямоугольным, и прямой угол лежит напротив большей стороны. В данном случае, сторона $EG$ является гипотенузой, и прямой угол находится при вершине $F$. Следовательно, $\angle EFG = 90^\circ$.

Ответ:

Угол $EFG$ равен $90^\circ$.