Номер 39, страница 146 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

39. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол $AC_1D_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1.

Найти:

Угол $AC_1D_1$.

Решение:

Для нахождения угла $AC_1D_1$ в треугольнике $AC_1D_1$ воспользуемся теоремой косинусов. Для этого необходимо найти длины всех сторон этого треугольника: $AC_1$, $C_1D_1$ и $AD_1$.

1.Найдём длину ребра $C_1D_1$:

По условию задачи, все ребра призмы равны 1. Ребро $C_1D_1$ является ребром верхнего основания призмы.

Следовательно, $C_1D_1 = 1$.

2.Найдём длину отрезка $AC_1$:

Рассмотрим нижнее основание призмы $ABCDEF$, которое является правильным шестиугольником со стороной, равной 1.

Отрезок $AC$ является малой диагональю правильного шестиугольника. Длина малой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $a\sqrt{3}$.

В данном случае $a=1$, поэтому $AC = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$. Катет $CC_1$ является боковым ребром призмы и перпендикулярен плоскости основания, его длина $CC_1 = 1$. Катет $AC$ лежит в плоскости нижнего основания.

По теореме Пифагора для $\triangle ACC_1$:

$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$

$AC_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2$

$AC_1^2 = 3 + 1 = 4$

$AC_1 = \sqrt{4} = 2$.

3.Найдём длину отрезка $AD_1$:

Снова рассмотрим нижнее основание призмы $ABCDEF$. Отрезок $AD$ является большой диагональю правильного шестиугольника. Длина большой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $2a$.

В нашем случае $a=1$, поэтому $AD = 2 \cdot 1 = 2$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ADD_1$. Катет $DD_1$ является боковым ребром призмы и перпендикулярен плоскости основания, его длина $DD_1 = 1$. Катет $AD$ лежит в плоскости нижнего основания.

По теореме Пифагора для $\triangle ADD_1$:

$AD_1^2 = AD^2 + DD_1^2$

$AD_1^2 = 2^2 + 1^2$

$AD_1^2 = 4 + 1 = 5$

$AD_1 = \sqrt{5}$.

4.Найдём угол $AC_1D_1$ с помощью теоремы косинусов:

В треугольнике $AC_1D_1$ нам известны все три стороны: $AC_1 = 2$, $C_1D_1 = 1$, $AD_1 = \sqrt{5}$.

Применим теорему косинусов для нахождения угла $\angle AC_1D_1$. Обозначим этот угол как $\alpha$. По теореме косинусов:

$AD_1^2 = AC_1^2 + C_1D_1^2 - 2 \cdot AC_1 \cdot C_1D_1 \cdot \cos(\alpha)$

Подставим найденные значения длин сторон:

$(\sqrt{5})^2 = 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos(\alpha)$

$5 = 4 + 1 - 4 \cos(\alpha)$

$5 = 5 - 4 \cos(\alpha)$

$0 = -4 \cos(\alpha)$

$\cos(\alpha) = 0$

Так как $\cos(\alpha) = 0$, то угол $\alpha = 90^\circ$.

Таким образом, угол $AC_1D_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.