Номер 16, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями $ABC$ и $BCE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Найти:

Угол между плоскостями $ABC$ и $BCE_1$.

Решение:

Обозначим угол между плоскостями $ABC$ и $BCE_1$ как $\theta$.

Плоскость $ABC$ является плоскостью основания призмы. Введем систему координат с началом в центре $O$ нижнего основания. Поскольку призма правильная и все ее ребра равны 1, высота призмы $AA_1 = BB_1 = \dots = 1$. Длина стороны основания $AB=BC=\dots=FA=1$.

Координаты вершин нижнего основания (плоскость $z=0$):

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $D = (\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$
• $E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Для плоскости $ABC$ (которая совпадает с плоскостью $z=0$), нормальный вектор можно взять как $\vec{n}_{ABC} = (0, 0, 1)$.

Для плоскости $BCE_1$ нам нужны координаты точек $B$, $C$, $E_1$.

• $B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $E_1$: точка $E_1$ находится над точкой $E$ на высоте 1. $E_1 = E + (0, 0, 1) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Найдем два вектора, лежащих в плоскости $BCE_1$:

• $\vec{CB} = B - C = (1/2 - (-1/2), \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (1, 0, 0)$
• $\vec{CE_1} = E_1 - C = (-1/2 - (-1/2), -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n}_{BCE_1}$ к плоскости $BCE_1$ найдем как векторное произведение $\vec{CB} \times \vec{CE_1}$:

$\vec{n}_{BCE_1} = \det \begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\sqrt{3} & 1 \end{pmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-\sqrt{3})) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot (-\sqrt{3}) - 0 \cdot 0)$

$\vec{n}_{BCE_1} = (0, -1, -\sqrt{3})$

Угол $\theta$ между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Косинус этого угла можно найти по формуле:

$\cos \theta = \frac{|\vec{n}_{ABC} \cdot \vec{n}_{BCE_1}|}{||\vec{n}_{ABC}|| \cdot ||\vec{n}_{BCE_1}||}$

Вычислим скалярное произведение и длины векторов:

• $\vec{n}_{ABC} \cdot \vec{n}_{BCE_1} = (0)(0) + (0)(-1) + (1)(-\sqrt{3}) = -\sqrt{3}$
• $||\vec{n}_{ABC}|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$
• $||\vec{n}_{BCE_1}|| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{0 + 1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

Подставим значения в формулу для $\cos \theta$:

$\cos \theta = \frac{|-\sqrt{3}|}{1 \cdot 2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Следовательно, $\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$