Номер 6, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

6. В правильном тетраэдре $ABCD$ точка $E$ — середина ребра $BC$. Найдите косинус угла между прямыми $AB$ и $DE$.

Дано:

• Правильный тетраэдр $ABCD$.
• Точка $E$ — середина ребра $BC$.

Найти:

• Косинус угла между прямыми $AB$ и $DE$.

Решение

Пусть длина ребра правильного тетраэдра равна $a$. Все грани правильного тетраэдра являются равносторонними треугольниками.

Для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми $AB$ и $DE$, перенесем одну из прямых так, чтобы она пересекалась с другой. Найдем прямую, параллельную $AB$ и пересекающую $DE$.

Рассмотрим грань $ABC$. Точка $E$ является серединой ребра $BC$. Пусть $M$ — середина ребра $AC$. Тогда отрезок $ME$ является средней линией треугольника $ABC$.

По свойству средней линии, $ME \parallel AB$ и $ME = \frac{1}{2} AB$.

Таким образом, угол между прямыми $AB$ и $DE$ равен углу между прямыми $ME$ и $DE$, то есть $\angle MED$.

Найдем длины сторон треугольника $MDE$:

1. Длина $ME$: Так как $ME$ — средняя линия треугольника $ABC$, то $ME = \frac{1}{2} AB = \frac{a}{2}$.
2. Длина $DE$: Ребро $DE$ является медианой равностороннего треугольника $DBC$ (так как $DBC$ — грань правильного тетраэдра со стороной $a$). Длина медианы $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $DE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
3. Длина $DM$: Ребро $DM$ является медианой равностороннего треугольника $ADC$ (так как $ADC$ — грань правильного тетраэдра со стороной $a$, и $M$ — середина $AC$). Следовательно, $DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Теперь у нас есть треугольник $MDE$ со сторонами $ME = \frac{a}{2}$, $DE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ и $DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Применим теорему косинусов для нахождения косинуса угла $\angle MED$ (обозначим его как $\theta$):

$DM^2 = ME^2 + DE^2 - 2 \cdot ME \cdot DE \cdot \cos\theta$

Подставим известные значения:

$\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{a}{2}\right) \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \cos\theta$

$\frac{3a^2}{4} = \frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \cos\theta$

$\frac{3a^2}{4} = a^2 - \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \cdot \cos\theta$

Вычтем $a^2$ из обеих частей уравнения:

$\frac{3a^2}{4} - a^2 = - \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \cdot \cos\theta$

$\frac{3a^2 - 4a^2}{4} = - \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \cdot \cos\theta$

$-\frac{a^2}{4} = - \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \cdot \cos\theta$

Разделим обе части на $-a^2$ (поскольку $a \ne 0$):

$\frac{1}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos\theta$

Выразим $\cos\theta$:

$\cos\theta = \frac{1/4}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\cos\theta = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{6}$