Страница 163 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $D_1F_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна 1. ($AB = BC = CD = DE = EF = FA = 1$, $AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1 = EE_1 = FF_1 = 1$)

Перевод в СИ

Длина ребра $a = 1$ (условная единица).

Найти

Расстояние от точки $B$ до прямой $D_1F_1$.

Решение

Расстояние от точки $B$ до прямой $D_1F_1$ можно найти как высоту треугольника $BD_1F_1$, опущенную из вершины $B$ на сторону $D_1F_1$. Для этого найдем длины сторон треугольника $BD_1F_1$.

1.Длина стороны $D_1F_1$:

Основания призмы являются правильными шестиугольниками со стороной 1. $D_1F_1$ — это диагональ верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. В правильном шестиугольнике диагональ, соединяющая вершины через одну (например, $DF$ или $D_1F_1$), имеет длину $a\sqrt{3}$, где $a$ — длина стороны шестиугольника. Поскольку сторона шестиугольника равна 1, то $D_1F_1 = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

2.Длина стороны $BD_1$:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDD_1$. Катет $DD_1$ — это боковое ребро призмы, его длина равна 1. Катет $BD$ — это диагональ нижнего основания $ABCDEF$, соединяющая вершины $B$ и $D$. Как и $D_1F_1$, $BD$ является диагональю через одну вершину правильного шестиугольника. Следовательно, $BD = \sqrt{3}$.

По теореме Пифагора для треугольника $BDD_1$:$BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2$$BD_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2$$BD_1^2 = 3 + 1 = 4$$BD_1 = \sqrt{4} = 2$.

3.Длина стороны $BF_1$:

Аналогично рассмотрим прямоугольный треугольник $BFF_1$. Катет $FF_1$ — это боковое ребро призмы, его длина равна 1. Катет $BF$ — это диагональ нижнего основания $ABCDEF$, соединяющая вершины $B$ и $F$. $BF$ также является диагональю через одну вершину правильного шестиугольника, поэтому $BF = \sqrt{3}$.

По теореме Пифагора для треугольника $BFF_1$:$BF_1^2 = BF^2 + FF_1^2$$BF_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2$$BF_1^2 = 3 + 1 = 4$$BF_1 = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, треугольник $BD_1F_1$ является равнобедренным с длинами сторон $BD_1 = 2$, $BF_1 = 2$ и $D_1F_1 = \sqrt{3}$.

Обозначим искомое расстояние от точки $B$ до прямой $D_1F_1$ как $h$. В равнобедренном треугольнике $BD_1F_1$ высота, опущенная на основание $D_1F_1$, будет являться медианой. Пусть $M$ — середина отрезка $D_1F_1$. Тогда $BM$ — это высота, и $D_1M = \frac{D_1F_1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BMD_1$. По теореме Пифагора:$BM^2 = BD_1^2 - D_1M^2$$BM^2 = 2^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$$BM^2 = 4 - \frac{3}{4}$$BM^2 = \frac{16}{4} - \frac{3}{4}$$BM^2 = \frac{13}{4}$$BM = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{13}}{2}$

17. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $A_1C_1$.

Дано:

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - правильная шестиугольная призма.

Длина всех ребер $a = 1$.

Перевод в СИ:

Данные уже представлены в безразмерных единицах, поэтому перевод в СИ не требуется. Длина ребра $a=1$ (условная единица длины).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $A_1C_1$.

Решение

Рассмотрим треугольник $BA_1C_1$. Искомое расстояние является высотой этого треугольника, опущенной из вершины $B$ на сторону $A_1C_1$.

Найдем длины сторон треугольника $BA_1C_1$.

Длина отрезка $A_1C_1$:

Отрезок $A_1C_1$ является диагональю правильного шестиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. В правильном шестиугольнике со стороной $a$, длина такой диагонали (соединяющей вершины через одну) равна $a\sqrt{3}$.Так как $a=1$, то $A_1C_1 = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Длина отрезка $BA_1$:

Отрезок $BA_1$ является диагональю боковой грани $ABB_1A_1$. Эта грань представляет собой прямоугольник (поскольку призма правильная, боковые ребра перпендикулярны основанию).

Стороны прямоугольника $ABB_1A_1$ равны $AB=1$ (сторона основания) и $AA_1=1$ (высота призмы).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABA_1$ (с прямым углом при вершине $A$):$BA_1^2 = AB^2 + AA_1^2$$BA_1^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$$BA_1 = \sqrt{2}$.

Длина отрезка $BC_1$:

Отрезок $BC_1$ является диагональю, соединяющей вершину нижнего основания $B$ с вершиной верхнего основания $C_1$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCC_1$, где $C$ является проекцией $C_1$ на плоскость нижнего основания.

$CC_1$ - это боковое ребро призмы, $CC_1 = 1$.

$BC$ - это сторона правильного шестиугольника основания, $BC = 1$.

Треугольник $BCC_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ (так как $CC_1$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и отрезку $BC$, лежащему в этой плоскости).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BCC_1$:$BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2$$BC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$$BC_1 = \sqrt{2}$.

Таким образом, треугольник $BA_1C_1$ является равнобедренным с боковыми сторонами $BA_1 = \sqrt{2}$ и $BC_1 = \sqrt{2}$, и основанием $A_1C_1 = \sqrt{3}$.

Для нахождения расстояния от точки $B$ до прямой $A_1C_1$ опустим высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $A_1C_1$. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является также медианой. Следовательно, $H$ - середина отрезка $A_1C_1$.

$A_1H = HC_1 = \frac{A_1C_1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHA_1$ (с прямым углом при вершине $H$).

По теореме Пифагора:$BH^2 = BA_1^2 - A_1H^2$$BH^2 = (\sqrt{2})^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$$BH^2 = 2 - \frac{3}{4}$$BH^2 = \frac{8}{4} - \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$$BH = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{2}$

18. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $FE_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех рёбер $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $FE_1$.

Решение

Для определения расстояния от точки до прямой воспользуемся методом координат. Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $O(0,0,0)$.

В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. Следовательно, расстояние от центра $O$ до любой вершины основания равно длине ребра, то есть 1.

Координаты вершин нижнего основания (плоскость $z=0$), если вершина $F$ расположена на положительной оси $x$:

- $F = (1, 0, 0)$

- $E = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

- $B = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Высота призмы равна длине ребра, то есть 1. Координаты вершин верхнего основания (плоскость $z=1$):

- $F_1 = (1, 0, 1)$

- $E_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Итак, нам нужно найти расстояние от точки $B(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ до прямой, проходящей через точки $F(1, 0, 0)$ и $E_1(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Рассмотрим треугольник $BFE_1$. Расстояние от точки $B$ до прямой $FE_1$ — это высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $FE_1$.

Найдем длины сторон треугольника $BFE_1$:

Длина $BF$: это малая диагональ правильного шестиугольника со стороной $a=1$. Малая диагональ равна $a\sqrt{3}$.
$BF = \sqrt{(1 - (-1/2))^2 + (0 - (-\sqrt{3}/2))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(3/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{9/4 + 3/4} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$.

Длина $FE_1$: это диагональ боковой грани $EFF_1E_1$. Эта грань является квадратом со стороной 1, так как $EF=1$ (ребро основания) и $EE_1=1$ (ребро призмы).
$FE_1 = \sqrt{(1/2 - 1)^2 + (\sqrt{3}/2 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{(-1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Длина $BE_1$: для её нахождения рассмотрим прямоугольный треугольник $BEE_1$ с прямым углом при вершине $E$. $EE_1 = 1$ (высота призмы).
$BE$ — это большая диагональ основания $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике со стороной $a=1$ большая диагональ равна $2a$. Следовательно, $BE = 2 \cdot 1 = 2$.
По теореме Пифагора для $\triangle BEE_1$:
$BE_1^2 = BE^2 + EE_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.
$BE_1 = \sqrt{5}$.

Итак, у нас есть треугольник $BFE_1$ со сторонами $BF = \sqrt{3}$, $FE_1 = \sqrt{2}$, $BE_1 = \sqrt{5}$.

Применим теорему косинусов для угла $\angle BFE_1$ в $\triangle BFE_1$:

$BE_1^2 = BF^2 + FE_1^2 - 2 \cdot BF \cdot FE_1 \cdot \cos(\angle BFE_1)$

$(\sqrt{5})^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(\angle BFE_1)$

$5 = 3 + 2 - 2\sqrt{6} \cdot \cos(\angle BFE_1)$

$5 = 5 - 2\sqrt{6} \cdot \cos(\angle BFE_1)$

$0 = -2\sqrt{6} \cdot \cos(\angle BFE_1)$

Из этого равенства следует, что $\cos(\angle BFE_1) = 0$.

Следовательно, $\angle BFE_1 = 90^\circ$.

Поскольку угол $\angle BFE_1$ равен $90^\circ$, треугольник $BFE_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $F$. Расстояние от точки $B$ до прямой $FE_1$ в этом случае равно длине катета $BF$, который перпендикулярен прямой $FE_1$.

Мы ранее вычислили $BF = \sqrt{3}$.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до прямой $FE_1$ равно $\sqrt{3}$.

19. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $DE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1.

Перевод в СИ:

Длина ребра призмы $a = 1$ м (предполагаем единицы измерения, если не указаны).

Высота призмы $h = 1$ м.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $DE_1$.

Решение:

Введем систему координат. Разместим центр нижнего основания $O$ в начале координат $(0,0,0)$. Ось $Ox$ направим вдоль радиуса, проходящего через вершину $A$. Высота призмы направлена вдоль оси $Oz$.

Координаты вершин нижнего основания (сторона $a=1$):

• $A = (1, 0, 0)$

• $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

• $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

• $D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

• $E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

• $F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Координаты вершин верхнего основания (высота $h=1$):

• $E_1 = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Точка, от которой ищем расстояние: $P = B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Прямая, до которой ищем расстояние, проходит через точку $Q = D = (-1, 0, 0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v} = \vec{DE_1}$.

Для нахождения расстояния от точки $P$ до прямой, проходящей через точку $Q$ с направляющим вектором $\vec{v}$, используется формула: $d = \frac{||\vec{QP} \times \vec{v}||}{||\vec{v}||}$.

Найдем вектор $\vec{QP} = \vec{DB}$:

$\vec{DB} = B - D = (\frac{1}{2} - (-1), \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Найдем направляющий вектор прямой $DE_1$, $\vec{v} = \vec{DE_1}$:

$\vec{DE_1} = E_1 - D = (-\frac{1}{2} - (-1), -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{DB} \times \vec{DE_1}$:

$\vec{DB} \times \vec{DE_1} = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{3}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{matrix} \right| = \vec{i}(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})) - \vec{j}(\frac{3}{2} \cdot 1 - 0 \cdot \frac{1}{2}) + \vec{k}(\frac{3}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$= \vec{i}(\frac{\sqrt{3}}{2}) - \vec{j}(\frac{3}{2}) + \vec{k}(-\frac{3\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}) = \vec{i}(\frac{\sqrt{3}}{2}) - \vec{j}(\frac{3}{2}) + \vec{k}(-\frac{4\sqrt{3}}{4})$

$= (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, -\sqrt{3})$.

Вычислим модуль векторного произведения:

$||\vec{DB} \times \vec{DE_1}|| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{9}{4} + 3} = \sqrt{\frac{12}{4} + 3} = \sqrt{3 + 3} = \sqrt{6}$.

Вычислим модуль направляющего вектора $\vec{DE_1}$:

$||\vec{DE_1}|| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Теперь найдем расстояние $d$:

$d = \frac{||\vec{DB} \times \vec{DE_1}||}{||\vec{DE_1}||} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{3}$.

Ответ:

$\sqrt{3}$

20. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Длина всех ребер призмы равна $1$. Это означает, что длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h_{prism}=1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$.

Решение

Обозначим искомое расстояние как $d$. Расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$ является длиной высоты $BH$, опущенной из вершины $B$ на сторону $AC_1$ в треугольнике $BAC_1$. Для вычисления этой высоты, сначала найдем длины сторон треугольника $BAC_1$.

1. Длина отрезка $AB$:
По условию задачи, все ребра призмы равны $1$, следовательно, $AB = 1$.

2. Длина отрезка $BC_1$:
Отрезок $BC_1$ является диагональю боковой грани $BCC_1B_1$. Грань $BCC_1B_1$ представляет собой прямоугольник, поскольку призма правильная. Его стороны равны $BC=1$ (ребро основания) и $CC_1=1$ (боковое ребро, равное высоте призмы).
Применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $BCC_1$, получаем:
$BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

3. Длина отрезка $AC_1$:
Отрезок $AC_1$ является пространственной диагональю призмы. Для его нахождения сначала определим длину отрезка $AC$.
$AC$ - это малая диагональ правильного шестиугольника $ABCDEF$ со стороной $a=1$. В правильном шестиугольнике со стороной $a$, длина малой диагонали равна $a\sqrt{3}$.
Следовательно, $AC = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$. Катеты этого треугольника - это $AC = \sqrt{3}$ и $CC_1 = 1$ (боковое ребро призмы).
Применяя теорему Пифагора к треугольнику $ACC_1$, получаем:
$AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, стороны треугольника $BAC_1$ имеют следующие длины:
$AB = 1$
$BC_1 = \sqrt{2}$
$AC_1 = 2$

Найдем площадь треугольника $BAC_1$ по формуле Герона.
Полупериметр $s = \frac{AB + BC_1 + AC_1}{2} = \frac{1 + \sqrt{2} + 2}{2} = \frac{3 + \sqrt{2}}{2}$.
Площадь $K$ вычисляется по формуле $K = \sqrt{s(s-AB)(s-BC_1)(s-AC_1)}$:
$s - AB = \frac{3 + \sqrt{2}}{2} - 1 = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$
$s - BC_1 = \frac{3 + \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} = \frac{3 - \sqrt{2}}{2}$
$s - AC_1 = \frac{3 + \sqrt{2}}{2} - 2 = \frac{\sqrt{2} - 1}{2}$
Подставляем эти значения в формулу площади:
$K = \sqrt{\frac{3 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{2}}$
$K = \frac{1}{4} \sqrt{(3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}$
Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$(3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2}) = 3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7$
$(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$
Тогда площадь $K = \frac{1}{4} \sqrt{7 \cdot 1} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

Теперь выразим искомое расстояние $d$ (высоту $BH$) из общей формулы площади треугольника $K = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В нашем случае основанием является $AC_1$, а высотой - $d$.
$K = \frac{1}{2} \cdot AC_1 \cdot d$
$\frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot d$
$\frac{\sqrt{7}}{4} = d$

Ответ:

$\frac{\sqrt{7}}{4}$

21. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $CA_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Перевод в СИ:

Данные представлены в относительных единицах. Длина ребра основания $a=1$ (условная единица длины). Высота призмы $h=1$ (условная единица длины).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $CA_1$.

Решение:

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть центр нижнего основания $O$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Так как призма правильная, и все ребра равны 1, то длина стороны основания шестиугольника $a=1$, и высота призмы $h=1$.

В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. Расстояние от центра шестиугольника до любой его вершины равно длине стороны. Пусть вершина $A$ лежит на оси $Ox$.

Координаты вершин нижнего основания $ABCDEF$:

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

Координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (с учетом высоты $h=1$):

• $A_1 = (1, 0, 1)$
• $C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Нам необходимо найти расстояние от точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до прямой $CA_1$. Прямая $CA_1$ проходит через точки $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $A_1(1, 0, 1)$.

Для нахождения расстояния от точки до прямой в трехмерном пространстве используем векторную формулу:

$d = \frac{|\vec{QP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$,

где $P$ - точка, от которой ищем расстояние ($B$), $Q$ - любая точка на прямой ($C$), $\vec{v}$ - направляющий вектор прямой ($ \vec{CA_1} $).

1. Найдем направляющий вектор прямой $CA_1$:
$\vec{v} = \vec{CA_1} = A_1 - C = (1 - (-1/2), 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (3/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

2. Найдем вектор $\vec{QP}$, соединяющий точку на прямой $C$ и заданную точку $B$:
$\vec{QP} = \vec{CB} = B - C = (1/2 - (-1/2), \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (1, 0, 0)$.

3. Вычислим векторное произведение $\vec{CB} \times \vec{CA_1}$:

$\vec{CB} \times \vec{CA_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 3/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i}((0)(1) - (0)(-\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j}((1)(1) - (0)(3/2)) + \mathbf{k}((1)(-\sqrt{3}/2) - (0)(3/2))$

$= (0) \mathbf{i} - (1) \mathbf{j} + (-\sqrt{3}/2) \mathbf{k}$

$= (0, -1, -\sqrt{3}/2)$.

4. Вычислим модуль векторного произведения:

$|\vec{CB} \times \vec{CA_1}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{0 + 1 + 3/4} = \sqrt{7/4} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

5. Вычислим модуль направляющего вектора $\vec{CA_1}$:

$|\vec{CA_1}| = \sqrt{(3/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{9/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{12/4 + 1} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

6. Найдем расстояние $d$:

$d = \frac{|\vec{CB} \times \vec{CA_1}|}{|\vec{CA_1}|} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

Ответ: $ \frac{\sqrt{7}}{4} $

22. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $AD_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все рёбра призмы равны $1$.

Перевод в СИ: Поскольку все рёбра заданы в относительных единицах (равны 1), перевод в СИ не требуется. Результат будет безразмерным или в тех же условных единицах.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AD_1$.

Решение:

Рассмотрим треугольник $ABD_1$. Расстояние от точки $B$ до прямой $AD_1$ — это длина высоты, опущенной из вершины $B$ на сторону $AD_1$ в этом треугольнике.

1. Определим длины сторон треугольника $ABD_1$:

• Ребро $AB$ является стороной правильного шестиугольника и равно $1$ по условию: $AB = 1$.

• Ребро $AD$ является большой диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$. Длина большой диагонали правильного шестиугольника равна удвоенной длине его стороны. Так как сторона $AB=1$, то $AD = 2 \times AB = 2 \times 1 = 2$.

• Ребро $DD_1$ является боковым ребром призмы и равно $1$ по условию: $DD_1 = 1$.

• Длина отрезка $AD_1$ является диагональю прямоугольника $ADD_1A_1$. Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ADD_1$ (где $\angle D = 90^\circ$):

  $AD_1 = \sqrt{AD^2 + DD_1^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

• Длина отрезка $BD$ является малой диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике со стороной $a$, длина малой диагонали равна $a\sqrt{3}$. Так как $a=1$, то $BD = 1 \times \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

• Длина отрезка $BD_1$ является диагональю прямоугольника $BDD_1B_1$. Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $BDD_1$ (где $\angle D = 90^\circ$, так как $DD_1$ перпендикулярна плоскости основания):

  $BD_1 = \sqrt{BD^2 + DD_1^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, стороны треугольника $ABD_1$ равны: $AB = 1$, $AD_1 = \sqrt{5}$, $BD_1 = 2$.

2. Проверим тип треугольника $ABD_1$:

Сравним квадраты длин сторон: $AB^2 = 1^2 = 1$, $BD_1^2 = 2^2 = 4$, $AD_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.

Замечаем, что $AB^2 + BD_1^2 = 1 + 4 = 5$, что равно $AD_1^2$. Следовательно, по обратной теореме Пифагора, треугольник $ABD_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle ABD_1 = 90^\circ$).

3. Альтернативное доказательство того, что $\angle ABD_1 = 90^\circ$:

• В основании $ABCDEF$ отрезок $AD$ является диаметром описанной окружности. Угол, опирающийся на диаметр, является прямым, следовательно, $\angle ABD = 90^\circ$. Это означает, что $AB \perp BD$.

• Поскольку призма является правильной, боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Следовательно, $DD_1 \perp AB$.

• Мы имеем, что прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $DD_1$, лежащим в плоскости $BDD_1$. Отсюда следует, что прямая $AB$ перпендикулярна всей плоскости $BDD_1$.

• Поскольку прямая $BD_1$ лежит в плоскости $BDD_1$, то $AB \perp BD_1$. Это подтверждает, что $\angle ABD_1 = 90^\circ$.

4. Вычисление расстояния:

Поскольку $\triangle ABD_1$ является прямоугольным с прямым углом при $B$, расстояние от точки $B$ до прямой $AD_1$ является высотой $h$, опущенной из вершины прямого угла $B$ на гипотенузу $AD_1$.

Площадь прямоугольного треугольника можно выразить двумя способами:

$S = \frac{1}{2} \times \text{катет}_1 \times \text{катет}_2$ или $S = \frac{1}{2} \times \text{гипотенуза} \times \text{высота к гипотенузе}$.

Таким образом, $S = \frac{1}{2} \times AB \times BD_1 = \frac{1}{2} \times AD_1 \times h$.

Отсюда, $h = \frac{AB \times BD_1}{AD_1}$.

Подставим известные значения:

$h = \frac{1 \times 2}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$h = \frac{2 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AD_1$ равно $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

23. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $CF_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Найти

Расстояние от точки $B$ до прямой $CF_1$.

Решение

Для нахождения расстояния от точки $B$ до прямой $CF_1$, рассмотрим треугольник $BCF_1$. Расстояние от точки $B$ до прямой $CF_1$ будет равно длине высоты, опущенной из вершины $B$ на сторону $CF_1$ в этом треугольнике.

Найдем длины сторон треугольника $BCF_1$:

1. Длина стороны $BC$:

Ребро $BC$ является стороной правильного шестиугольника, лежащего в основании призмы. Так как все ребра призмы равны 1, то $BC = 1$.

2. Длина стороны $BF_1$:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BFF_1$. Угол $F$ в этом треугольнике прямой, так как боковое ребро $FF_1$ перпендикулярно плоскости основания. Длина ребра $FF_1 = 1$. Длина отрезка $BF$ - это длина диагонали шестиугольника, соединяющей вершины через одну (например, $B$ и $F$). В правильном шестиугольнике со стороной $a$, длина такой диагонали равна $a\sqrt{3}$. Так как $a=1$, то $BF = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Теперь, по теореме Пифагора для треугольника $BFF_1$:

$BF_1^2 = BF^2 + FF_1^2$

$BF_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2$

$BF_1^2 = 3 + 1 = 4$

$BF_1 = \sqrt{4} = 2$

3. Длина стороны $CF_1$:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CFF_1$. Угол $F$ в этом треугольнике прямой, так как боковое ребро $FF_1$ перпендикулярно плоскости основания. Длина ребра $FF_1 = 1$. Длина отрезка $CF$ - это длина большой диагонали шестиугольника, соединяющей противоположные вершины (например, $C$ и $F$). В правильном шестиугольнике со стороной $a$, длина такой диагонали равна $2a$. Так как $a=1$, то $CF = 2 \cdot 1 = 2$.

Теперь, по теореме Пифагора для треугольника $CFF_1$:

$CF_1^2 = CF^2 + FF_1^2$

$CF_1^2 = 2^2 + 1^2$

$CF_1^2 = 4 + 1 = 5$

$CF_1 = \sqrt{5}$

Таким образом, длины сторон треугольника $BCF_1$ равны: $BC=1$, $BF_1=2$, $CF_1=\sqrt{5}$.

Проверим, является ли треугольник $BCF_1$ прямоугольным:

$BC^2 + BF_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$

$CF_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$

Поскольку $BC^2 + BF_1^2 = CF_1^2$, треугольник $BCF_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

Расстояние от точки $B$ до прямой $CF_1$ - это высота $h$ треугольника $BCF_1$, опущенная на гипотенузу $CF_1$.

Площадь прямоугольного треугольника может быть найдена как половина произведения катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BF_1$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$.

Также площадь треугольника может быть найдена как половина произведения гипотенузы на высоту, опущенную на нее: $S = \frac{1}{2} \cdot CF_1 \cdot h$.

$1 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot h$

$h = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$h = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Ответ

Расстояние от точки $B$ до прямой $CF_1$ равно $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

24. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $CD_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $CD_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $O(0,0,0)$. Так как призма правильная, и все ее ребра равны 1, то длина стороны основания шестиугольника $a=1$, и высота призмы также $h=1$. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен его стороне.

Определим координаты необходимых вершин. Пусть вершина $A$ лежит на положительной части оси $Ox$.

Координаты вершины $B$:$B_x = 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$B_y = 1 \cdot \sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$B_z = 0$ (так как это вершина нижнего основания)Итак, $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Координаты вершины $C$:$C_x = 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$$C_y = 1 \cdot \sin(120^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$C_z = 0$Итак, $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Координаты вершины $D$:$D_x = 1 \cdot \cos(180^\circ) = 1 \cdot (-1) = -1$$D_y = 1 \cdot \sin(180^\circ) = 1 \cdot 0 = 0$$D_z = 0$Итак, $D(-1, 0, 0)$.

Координаты вершины $D_1$ (вершина верхнего основания, соответствующая $D$):$D_{1x} = D_x = -1$$D_{1y} = D_y = 0$$D_{1z} = 1$ (высота призмы)Итак, $D_1(-1, 0, 1)$.

Мы ищем расстояние от точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ до прямой, проходящей через точки $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $D_1(-1, 0, 1)$.

Расстояние от точки $P_0$ до прямой, проходящей через точку $P_1$ с направляющим вектором $\vec{v}$, вычисляется по формуле:$d = \frac{||\vec{P_1P_0} \times \vec{v}||}{||\vec{v}||}$

Пусть $P_0 = B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Выберем точку $P_1 = C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ на прямой $CD_1$.

Направляющий вектор прямой $CD_1$ это вектор $\vec{v} = \vec{CD_1}$:$\vec{CD_1} = D_1 - C = (-1 - (-\frac{1}{2}), 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Вектор $\vec{P_1P_0} = \vec{CB}$:$\vec{CB} = B - C = (\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (1, 0, 0)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{CB} \times \vec{CD_1}$:$\vec{CB} \times \vec{CD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot (-\frac{1}{2})) + \mathbf{k}(1 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 0 \cdot (-\frac{1}{2})) = (0, -1, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Найдем модуль этого векторного произведения:$||\vec{CB} \times \vec{CD_1}|| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Найдем модуль направляющего вектора $\vec{CD_1}$:$||\vec{CD_1}|| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Теперь вычислим расстояние $d$:$d = \frac{\frac{\sqrt{7}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}$.

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$ для избавления от иррациональности в знаменателе:$d = \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{14}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{14}}{4}$

25. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $FD_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна 1. Это означает, что сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $FD_1$.

Решение

Для решения задачи используем метод координат. Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $O(0,0,0)$. Ось $Ox$ направим вдоль $OA$.

В правильном шестиугольнике со стороной $a=1$, координаты вершин будут:

• Координаты точки $B$ (вершина нижнего основания): $B(a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ), 0) = B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

• Координаты точки $F$ (вершина нижнего основания): $F(a \cos(300^\circ), a \sin(300^\circ), 0) = F(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

• Координаты точки $D_1$ (вершина верхнего основания, $z$-координата равна высоте призмы $h=1$): $D_1(a \cos(180^\circ), a \sin(180^\circ), 1) = D_1(-1, 0, 1)$.

Расстояние от точки $P_0$ до прямой, проходящей через точку $P_1$ с направляющим вектором $\vec{v}$, можно найти по формуле:

$d = \frac{|\vec{P_1P_0} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$

В нашем случае:

• Данная точка $P_0 = B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

• Прямая $FD_1$. В качестве точки $P_1$ на прямой выберем $F = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

• Направляющий вектор прямой $\vec{v} = \vec{FD_1} = D_1 - F$.

Вычислим компоненты вектора $\vec{FD_1}$:

$\vec{FD_1} = (-1 - 1/2, 0 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 0) = (-3/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Вычислим компоненты вектора $\vec{P_1P_0} = \vec{FB} = B - F$:

$\vec{FB} = (1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - (-\sqrt{3}/2), 0 - 0) = (0, \sqrt{3}, 0)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{FB} \times \vec{FD_1}$:

$\vec{FB} \times \vec{FD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ -3/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i}(\sqrt{3} \cdot 1 - 0 \cdot \sqrt{3}/2) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-3/2)) + \mathbf{k}(0 \cdot \sqrt{3}/2 - \sqrt{3} \cdot (-3/2))$

$= \mathbf{i}(\sqrt{3}) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(3\sqrt{3}/2) = (\sqrt{3}, 0, 3\sqrt{3}/2)$.

Найдем модуль векторного произведения:

$|\vec{FB} \times \vec{FD_1}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 0^2 + (3\sqrt{3}/2)^2}$

$= \sqrt{3 + 0 + (9 \cdot 3 / 4)}$

$= \sqrt{3 + 27/4} = \sqrt{12/4 + 27/4} = \sqrt{39/4} = \frac{\sqrt{39}}{2}$.

Найдем модуль направляющего вектора $\vec{FD_1}$:

$|\vec{FD_1}| = \sqrt{(-3/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 1^2}$

$= \sqrt{9/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{12/4 + 1} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Теперь вычислим искомое расстояние $d$:

$d = \frac{|\vec{FB} \times \vec{FD_1}|}{|\vec{FD_1}|} = \frac{\frac{\sqrt{39}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{39}}{4}$.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до прямой $FD_1$ равно $\frac{\sqrt{39}}{4}$.

26. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $DF_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длины всех ребер призмы равны 1.

Перевод данных в СИ:

Длина стороны основания $a = 1$.

Высота призмы $h = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $DF_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Разместим центр нижнего основания призмы, точку $O$, в начале координат $(0,0,0)$.

В правильном шестиугольнике со стороной $a=1$ радиус описанной окружности также равен $R=1$. Координаты вершин нижнего основания $ABCDEF$ будут:

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $D = (\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$
• $E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Высота призмы равна длине ребра, то есть $h=1$. Координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут такими же, но с z-координатой, увеличенной на 1:

• $F_1 = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Нам нужно найти расстояние от точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до прямой, проходящей через точки $D(-1, 0, 0)$ и $F_1(1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Расстояние от точки $P$ до прямой, проходящей через точку $Q$ с направляющим вектором $\vec{v}$, определяется по формуле:

$d = \frac{|\vec{QP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$

В нашем случае $P = B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. Выберем $Q = D = (-1, 0, 0)$.

Найдем вектор $\vec{DB}$ (вектор $\vec{QP}$):

$\vec{DB} = B - D = (1/2 - (-1), \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (3/2, \sqrt{3}/2, 0)$

Найдем направляющий вектор $\vec{DF_1}$ (вектор $\vec{v}$):

$\vec{DF_1} = F_1 - D = (1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (3/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Теперь вычислим векторное произведение $\vec{DB} \times \vec{DF_1}$:

$\vec{DB} \times \vec{DF_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ 3/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i} \left( (\sqrt{3}/2)(1) - 0(-\sqrt{3}/2) \right) - \mathbf{j} \left( (3/2)(1) - 0(3/2) \right) + \mathbf{k} \left( (3/2)(-\sqrt{3}/2) - (\sqrt{3}/2)(3/2) \right)$

$= \mathbf{i} (\sqrt{3}/2) - \mathbf{j} (3/2) + \mathbf{k} (-\frac{3\sqrt{3}}{4} - \frac{3\sqrt{3}}{4})$

$= (\sqrt{3}/2, -3/2, -6\sqrt{3}/4) = (\sqrt{3}/2, -3/2, -3\sqrt{3}/2)$

Вычислим модуль полученного векторного произведения:

$|\vec{DB} \times \vec{DF_1}| = \sqrt{(\sqrt{3}/2)^2 + (-3/2)^2 + (-3\sqrt{3}/2)^2}$

$= \sqrt{3/4 + 9/4 + 27/4} = \sqrt{39/4} = \frac{\sqrt{39}}{2}$

Вычислим модуль направляющего вектора $\vec{DF_1}$:

$|\vec{DF_1}| = \sqrt{(3/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 1^2}$

$= \sqrt{9/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{12/4 + 1} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

Теперь найдем расстояние $d$:

$d = \frac{|\vec{DB} \times \vec{DF_1}|}{|\vec{DF_1}|} = \frac{\sqrt{39}/2}{2} = \frac{\sqrt{39}}{4}$

Ответ:

Расстояние от точки B до прямой DF_1 составляет $\frac{\sqrt{39}}{4}$.

27. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $FC_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Длины всех ребер призмы равны $1$. То есть, $AB = BC = CD = DE = EF = FA = AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1 = EE_1 = FF_1 = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $FC_1$.

Решение

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Ось $z$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$. Поскольку призма правильная, ее основания являются правильными шестиугольниками. Длина стороны шестиугольника равна $1$. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен длине стороны. То есть, расстояние от центра до любой вершины равно $1$.

Расположим вершины нижнего основания следующим образом: $F = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ $A = (1, 0, 0)$ $B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ $C = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ $D = (-1, 0, 0)$ $E = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Высота призмы равна длине ребра, то есть $1$. Координаты точки $C_1$ будут: $C_1 = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Таким образом, мы имеем координаты следующих точек: $B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ $F = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ $C_1 = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Расстояние от точки до прямой можно найти как высоту треугольника, построенного на этой точке и двух точках, лежащих на прямой. В данном случае, это высота $h$ треугольника $FBC_1$, опущенная из вершины $B$ на сторону $FC_1$. Площадь треугольника $FBC_1$ может быть найдена как половина модуля векторного произведения векторов $\vec{FB}$ и $\vec{FC_1}$.

Найдем векторы $\vec{FB}$ и $\vec{FC_1}$: $\vec{FB} = B - F = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 0 - 0) = (0, \sqrt{3}, 0)$ $\vec{FC_1} = C_1 - F = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 1 - 0) = (-1, \sqrt{3}, 1)$

Вычислим векторное произведение $\vec{FB} \times \vec{FC_1}$: $$ \vec{FB} \times \vec{FC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ -1 & \sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} $$ $$ = \mathbf{i}(\sqrt{3} \cdot 1 - 0 \cdot \sqrt{3}) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(0 \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot (-1)) $$ $$ = \mathbf{i}(\sqrt{3}) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(\sqrt{3}) = (\sqrt{3}, 0, \sqrt{3}) $$

Найдем модуль векторного произведения: $$ |\vec{FB} \times \vec{FC_1}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 0^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 0 + 3} = \sqrt{6} $$

Площадь треугольника $FBC_1$ равна $S = \frac{1}{2} |\vec{FB} \times \vec{FC_1}| = \frac{1}{2}\sqrt{6}$.

Теперь найдем длину стороны $FC_1$: $$ |\vec{FC_1}| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 3 + 1} = \sqrt{5} $$

Расстояние $h$ от точки $B$ до прямой $FC_1$ является высотой треугольника $FBC_1$, опущенной на сторону $FC_1$. Используем формулу площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. $$ \frac{1}{2}\sqrt{6} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot h $$ $$ h = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}} $$

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$: $$ h = \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{30}}{5} $$

Ответ:

$\frac{\sqrt{30}}{5}$

28. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $DA_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длины всех ребер равны 1.

Перевод в систему СИ:

Длина ребра $a = 1$ (условная единица длины).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $DA_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния от точки до прямой воспользуемся методом координат. Разместим начало координат в центре нижнего основания $O(0,0,0)$.

Так как призма правильная, а длина стороны шестиугольника $a=1$, координаты вершин нижнего основания $ABCDEF$ будут:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

Так как все ребра равны 1, высота призмы также равна 1. Координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут иметь $z$-координату, увеличенную на 1.

$A_1 = (1, 0, 1)$

Нам нужно найти расстояние от точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до прямой, проходящей через точки $D(-1, 0, 0)$ и $A_1(1, 0, 1)$.

Для нахождения расстояния $d$ от точки $P_0$ до прямой, проходящей через точку $P_1$ с направляющим вектором $\vec{v}$, используется формула:

$d = \frac{|\vec{P_1P_0} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$

В нашем случае:

Точка $P_0 = B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

Точка на прямой $P_1 = D(-1, 0, 0)$

Направляющий вектор прямой $DA_1$: $\vec{v} = \vec{DA_1} = A_1 - D = (1 - (-1), 0 - 0, 1 - 0) = (2, 0, 1)$.

Вектор $\vec{P_1P_0} = \vec{DB} = B - D = (1/2 - (-1), \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (3/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{DB} \times \vec{DA_1}$:

$\vec{DB} \times \vec{DA_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i}(\sqrt{3}/2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(3/2 \cdot 1 - 0 \cdot 2) + \mathbf{k}(3/2 \cdot 0 - \sqrt{3}/2 \cdot 2)$

$= \mathbf{i}(\sqrt{3}/2) - \mathbf{j}(3/2) + \mathbf{k}(-\sqrt{3})$

$= (\sqrt{3}/2, -3/2, -\sqrt{3})$

Найдем модуль этого векторного произведения:

$|\vec{DB} \times \vec{DA_1}| = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + (-\sqrt{3})^2}$

$= \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{9}{4} + 3} = \sqrt{\frac{12}{4} + 3} = \sqrt{3 + 3} = \sqrt{6}$.

Найдем модуль направляющего вектора $\vec{DA_1}$:

$|\vec{DA_1}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5}$.

Теперь вычислим расстояние $d$:

$d = \frac{|\vec{DB} \times \vec{DA_1}|}{|\vec{DA_1}|} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{30}}{5}$.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до прямой $DA_1$ составляет $\frac{\sqrt{30}}{5}$.

29. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $FA_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Все ребра призмы равны $1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $FA_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния от точки до прямой в пространстве удобно использовать метод координат. Расположим призму в декартовой системе координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $(0, 0, 0)$. Поскольку все ребра призмы равны $1$, это означает, что длина стороны основания $a = 1$ и высота призмы $h = 1$.

Координаты вершин нижнего основания правильного шестиугольника со стороной $a=1$ и центром в начале координат:

• $A = (1, 0, 0)$

• $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

• $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

• $D = (-1, 0, 0)$

• $E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

• $F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Координаты соответствующих вершин верхнего основания получаются добавлением высоты $h=1$ к $z$-координате:

• $A_1 = (1, 0, 1)$

Нам нужно найти расстояние от точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ до прямой $FA_1$.

Найдем вектор, направляющий прямую $FA_1$. Возьмем точки $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $A_1(1, 0, 1)$. Вектор $\vec{v} = \vec{FA_1} = A_1 - F = (1 - \frac{1}{2}, 0 - (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 1 - 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Также найдем вектор $\vec{QP}$, где $Q$ - это точка $F$ на прямой, а $P$ - это точка $B$. $\vec{FB} = B - F = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 0 - 0) = (0, \sqrt{3}, 0)$.

Расстояние $d$ от точки $P$ до прямой, проходящей через точку $Q$ с направляющим вектором $\vec{v}$, вычисляется по формуле: $d = \frac{||\vec{QP} \times \vec{v}||}{||\vec{v}||}$

Вычислим векторное произведение $\vec{FB} \times \vec{FA_1}$: $\vec{FB} \times \vec{FA_1} = (0, \sqrt{3}, 0) \times (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1) = $$( \sqrt{3} \cdot 1 - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad 0 \cdot \frac{1}{2} - 0 \cdot 1, \quad 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} )$$= (\sqrt{3}, 0, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Найдем модуль этого векторного произведения: $||\vec{FB} \times \vec{FA_1}|| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 0^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{3 + 0 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12+3}{4}} = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$

Найдем модуль направляющего вектора $\vec{v} = \vec{FA_1}$: $||\vec{FA_1}|| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

Теперь вычислим расстояние $d$: $d = \frac{\frac{\sqrt{15}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{15}}{2\sqrt{2}}$ Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$ для избавления от иррациональности в знаменателе: $d = \frac{\sqrt{15} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{30}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{30}}{4}$

Ответ:

$\frac{\sqrt{30}}{4}$