Номер 23, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

23. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $CF_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Найти

Расстояние от точки $B$ до прямой $CF_1$.

Решение

Для нахождения расстояния от точки $B$ до прямой $CF_1$, рассмотрим треугольник $BCF_1$. Расстояние от точки $B$ до прямой $CF_1$ будет равно длине высоты, опущенной из вершины $B$ на сторону $CF_1$ в этом треугольнике.

Найдем длины сторон треугольника $BCF_1$:

1. Длина стороны $BC$:

Ребро $BC$ является стороной правильного шестиугольника, лежащего в основании призмы. Так как все ребра призмы равны 1, то $BC = 1$.

2. Длина стороны $BF_1$:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BFF_1$. Угол $F$ в этом треугольнике прямой, так как боковое ребро $FF_1$ перпендикулярно плоскости основания. Длина ребра $FF_1 = 1$. Длина отрезка $BF$ - это длина диагонали шестиугольника, соединяющей вершины через одну (например, $B$ и $F$). В правильном шестиугольнике со стороной $a$, длина такой диагонали равна $a\sqrt{3}$. Так как $a=1$, то $BF = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Теперь, по теореме Пифагора для треугольника $BFF_1$:

$BF_1^2 = BF^2 + FF_1^2$

$BF_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2$

$BF_1^2 = 3 + 1 = 4$

$BF_1 = \sqrt{4} = 2$

3. Длина стороны $CF_1$:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CFF_1$. Угол $F$ в этом треугольнике прямой, так как боковое ребро $FF_1$ перпендикулярно плоскости основания. Длина ребра $FF_1 = 1$. Длина отрезка $CF$ - это длина большой диагонали шестиугольника, соединяющей противоположные вершины (например, $C$ и $F$). В правильном шестиугольнике со стороной $a$, длина такой диагонали равна $2a$. Так как $a=1$, то $CF = 2 \cdot 1 = 2$.

Теперь, по теореме Пифагора для треугольника $CFF_1$:

$CF_1^2 = CF^2 + FF_1^2$

$CF_1^2 = 2^2 + 1^2$

$CF_1^2 = 4 + 1 = 5$

$CF_1 = \sqrt{5}$

Таким образом, длины сторон треугольника $BCF_1$ равны: $BC=1$, $BF_1=2$, $CF_1=\sqrt{5}$.

Проверим, является ли треугольник $BCF_1$ прямоугольным:

$BC^2 + BF_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$

$CF_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$

Поскольку $BC^2 + BF_1^2 = CF_1^2$, треугольник $BCF_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

Расстояние от точки $B$ до прямой $CF_1$ - это высота $h$ треугольника $BCF_1$, опущенная на гипотенузу $CF_1$.

Площадь прямоугольного треугольника может быть найдена как половина произведения катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BF_1$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$.

Также площадь треугольника может быть найдена как половина произведения гипотенузы на высоту, опущенную на нее: $S = \frac{1}{2} \cdot CF_1 \cdot h$.

$1 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot h$

$h = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$h = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Ответ

Расстояние от точки $B$ до прямой $CF_1$ равно $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.