Номер 22, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

22. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $AD_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все рёбра призмы равны $1$.

Перевод в СИ: Поскольку все рёбра заданы в относительных единицах (равны 1), перевод в СИ не требуется. Результат будет безразмерным или в тех же условных единицах.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AD_1$.

Решение:

Рассмотрим треугольник $ABD_1$. Расстояние от точки $B$ до прямой $AD_1$ — это длина высоты, опущенной из вершины $B$ на сторону $AD_1$ в этом треугольнике.

1. Определим длины сторон треугольника $ABD_1$:

• Ребро $AB$ является стороной правильного шестиугольника и равно $1$ по условию: $AB = 1$.

• Ребро $AD$ является большой диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$. Длина большой диагонали правильного шестиугольника равна удвоенной длине его стороны. Так как сторона $AB=1$, то $AD = 2 \times AB = 2 \times 1 = 2$.

• Ребро $DD_1$ является боковым ребром призмы и равно $1$ по условию: $DD_1 = 1$.

• Длина отрезка $AD_1$ является диагональю прямоугольника $ADD_1A_1$. Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ADD_1$ (где $\angle D = 90^\circ$):

  $AD_1 = \sqrt{AD^2 + DD_1^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

• Длина отрезка $BD$ является малой диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике со стороной $a$, длина малой диагонали равна $a\sqrt{3}$. Так как $a=1$, то $BD = 1 \times \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

• Длина отрезка $BD_1$ является диагональю прямоугольника $BDD_1B_1$. Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $BDD_1$ (где $\angle D = 90^\circ$, так как $DD_1$ перпендикулярна плоскости основания):

  $BD_1 = \sqrt{BD^2 + DD_1^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, стороны треугольника $ABD_1$ равны: $AB = 1$, $AD_1 = \sqrt{5}$, $BD_1 = 2$.

2. Проверим тип треугольника $ABD_1$:

Сравним квадраты длин сторон: $AB^2 = 1^2 = 1$, $BD_1^2 = 2^2 = 4$, $AD_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.

Замечаем, что $AB^2 + BD_1^2 = 1 + 4 = 5$, что равно $AD_1^2$. Следовательно, по обратной теореме Пифагора, треугольник $ABD_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle ABD_1 = 90^\circ$).

3. Альтернативное доказательство того, что $\angle ABD_1 = 90^\circ$:

• В основании $ABCDEF$ отрезок $AD$ является диаметром описанной окружности. Угол, опирающийся на диаметр, является прямым, следовательно, $\angle ABD = 90^\circ$. Это означает, что $AB \perp BD$.

• Поскольку призма является правильной, боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Следовательно, $DD_1 \perp AB$.

• Мы имеем, что прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $DD_1$, лежащим в плоскости $BDD_1$. Отсюда следует, что прямая $AB$ перпендикулярна всей плоскости $BDD_1$.

• Поскольку прямая $BD_1$ лежит в плоскости $BDD_1$, то $AB \perp BD_1$. Это подтверждает, что $\angle ABD_1 = 90^\circ$.

4. Вычисление расстояния:

Поскольку $\triangle ABD_1$ является прямоугольным с прямым углом при $B$, расстояние от точки $B$ до прямой $AD_1$ является высотой $h$, опущенной из вершины прямого угла $B$ на гипотенузу $AD_1$.

Площадь прямоугольного треугольника можно выразить двумя способами:

$S = \frac{1}{2} \times \text{катет}_1 \times \text{катет}_2$ или $S = \frac{1}{2} \times \text{гипотенуза} \times \text{высота к гипотенузе}$.

Таким образом, $S = \frac{1}{2} \times AB \times BD_1 = \frac{1}{2} \times AD_1 \times h$.

Отсюда, $h = \frac{AB \times BD_1}{AD_1}$.

Подставим известные значения:

$h = \frac{1 \times 2}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$h = \frac{2 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AD_1$ равно $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.