Номер 20, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Длина всех ребер призмы равна $1$. Это означает, что длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h_{prism}=1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$.

Решение

Обозначим искомое расстояние как $d$. Расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$ является длиной высоты $BH$, опущенной из вершины $B$ на сторону $AC_1$ в треугольнике $BAC_1$. Для вычисления этой высоты, сначала найдем длины сторон треугольника $BAC_1$.

1. Длина отрезка $AB$:
По условию задачи, все ребра призмы равны $1$, следовательно, $AB = 1$.

2. Длина отрезка $BC_1$:
Отрезок $BC_1$ является диагональю боковой грани $BCC_1B_1$. Грань $BCC_1B_1$ представляет собой прямоугольник, поскольку призма правильная. Его стороны равны $BC=1$ (ребро основания) и $CC_1=1$ (боковое ребро, равное высоте призмы).
Применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $BCC_1$, получаем:
$BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

3. Длина отрезка $AC_1$:
Отрезок $AC_1$ является пространственной диагональю призмы. Для его нахождения сначала определим длину отрезка $AC$.
$AC$ - это малая диагональ правильного шестиугольника $ABCDEF$ со стороной $a=1$. В правильном шестиугольнике со стороной $a$, длина малой диагонали равна $a\sqrt{3}$.
Следовательно, $AC = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$. Катеты этого треугольника - это $AC = \sqrt{3}$ и $CC_1 = 1$ (боковое ребро призмы).
Применяя теорему Пифагора к треугольнику $ACC_1$, получаем:
$AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, стороны треугольника $BAC_1$ имеют следующие длины:
$AB = 1$
$BC_1 = \sqrt{2}$
$AC_1 = 2$

Найдем площадь треугольника $BAC_1$ по формуле Герона.
Полупериметр $s = \frac{AB + BC_1 + AC_1}{2} = \frac{1 + \sqrt{2} + 2}{2} = \frac{3 + \sqrt{2}}{2}$.
Площадь $K$ вычисляется по формуле $K = \sqrt{s(s-AB)(s-BC_1)(s-AC_1)}$:
$s - AB = \frac{3 + \sqrt{2}}{2} - 1 = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$
$s - BC_1 = \frac{3 + \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} = \frac{3 - \sqrt{2}}{2}$
$s - AC_1 = \frac{3 + \sqrt{2}}{2} - 2 = \frac{\sqrt{2} - 1}{2}$
Подставляем эти значения в формулу площади:
$K = \sqrt{\frac{3 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{2}}$
$K = \frac{1}{4} \sqrt{(3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}$
Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$(3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2}) = 3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7$
$(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$
Тогда площадь $K = \frac{1}{4} \sqrt{7 \cdot 1} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

Теперь выразим искомое расстояние $d$ (высоту $BH$) из общей формулы площади треугольника $K = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В нашем случае основанием является $AC_1$, а высотой - $d$.
$K = \frac{1}{2} \cdot AC_1 \cdot d$
$\frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot d$
$\frac{\sqrt{7}}{4} = d$

Ответ:

$\frac{\sqrt{7}}{4}$