Номер 17, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $A_1C_1$.

Дано:

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - правильная шестиугольная призма.

Длина всех ребер $a = 1$.

Перевод в СИ:

Данные уже представлены в безразмерных единицах, поэтому перевод в СИ не требуется. Длина ребра $a=1$ (условная единица длины).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $A_1C_1$.

Решение

Рассмотрим треугольник $BA_1C_1$. Искомое расстояние является высотой этого треугольника, опущенной из вершины $B$ на сторону $A_1C_1$.

Найдем длины сторон треугольника $BA_1C_1$.

Длина отрезка $A_1C_1$:

Отрезок $A_1C_1$ является диагональю правильного шестиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. В правильном шестиугольнике со стороной $a$, длина такой диагонали (соединяющей вершины через одну) равна $a\sqrt{3}$.Так как $a=1$, то $A_1C_1 = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Длина отрезка $BA_1$:

Отрезок $BA_1$ является диагональю боковой грани $ABB_1A_1$. Эта грань представляет собой прямоугольник (поскольку призма правильная, боковые ребра перпендикулярны основанию).

Стороны прямоугольника $ABB_1A_1$ равны $AB=1$ (сторона основания) и $AA_1=1$ (высота призмы).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABA_1$ (с прямым углом при вершине $A$):$BA_1^2 = AB^2 + AA_1^2$$BA_1^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$$BA_1 = \sqrt{2}$.

Длина отрезка $BC_1$:

Отрезок $BC_1$ является диагональю, соединяющей вершину нижнего основания $B$ с вершиной верхнего основания $C_1$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCC_1$, где $C$ является проекцией $C_1$ на плоскость нижнего основания.

$CC_1$ - это боковое ребро призмы, $CC_1 = 1$.

$BC$ - это сторона правильного шестиугольника основания, $BC = 1$.

Треугольник $BCC_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ (так как $CC_1$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и отрезку $BC$, лежащему в этой плоскости).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BCC_1$:$BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2$$BC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$$BC_1 = \sqrt{2}$.

Таким образом, треугольник $BA_1C_1$ является равнобедренным с боковыми сторонами $BA_1 = \sqrt{2}$ и $BC_1 = \sqrt{2}$, и основанием $A_1C_1 = \sqrt{3}$.

Для нахождения расстояния от точки $B$ до прямой $A_1C_1$ опустим высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $A_1C_1$. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является также медианой. Следовательно, $H$ - середина отрезка $A_1C_1$.

$A_1H = HC_1 = \frac{A_1C_1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHA_1$ (с прямым углом при вершине $H$).

По теореме Пифагора:$BH^2 = BA_1^2 - A_1H^2$$BH^2 = (\sqrt{2})^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$$BH^2 = 2 - \frac{3}{4}$$BH^2 = \frac{8}{4} - \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$$BH = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{2}$