Номер 11, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

11. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $C_1D_1$.

Дано:Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.Все ребра призмы равны 1. Это означает, что длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Найти:Расстояние от точки B до прямой $C_1D_1$.

Решение

Пусть $d$ — искомое расстояние от точки B до прямой $C_1D_1$. Для нахождения этого расстояния воспользуемся методом построения перпендикуляра в пространстве.Рассмотрим ортогональную проекцию точки B на плоскость верхнего основания призмы $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Эта проекция является точкой $B_1$.

Поскольку призма является правильной, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, отрезок $BB_1$ перпендикулярен плоскости верхнего основания. Это означает, что $BB_1$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $C_1D_1$.Длина бокового ребра призмы равна ее высоте, поэтому $BB_1 = 1$.

Теперь найдем расстояние от точки $B_1$ до прямой $C_1D_1$ в плоскости верхнего основания. Обозначим это расстояние как $B_1K$, где $K$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $B_1$ на прямую $C_1D_1$.

Рассмотрим правильный шестиугольник $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ со стороной $a=1$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$. Таким образом, $\angle B_1C_1D_1 = 120^\circ$.

В треугольнике $B_1C_1D_1$ стороны $B_1C_1 = 1$ и $C_1D_1 = 1$. Для того чтобы найти расстояние от вершины $B_1$ до стороны $C_1D_1$, опустим перпендикуляр $B_1K$ на прямую, содержащую отрезок $C_1D_1$. Поскольку $\angle B_1C_1D_1 = 120^\circ$ (тупой угол), точка $K$ будет лежать на продолжении отрезка $D_1C_1$ за точку $C_1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle B_1C_1K$. Угол $\angle B_1C_1K$ является смежным с углом $\angle B_1C_1D_1$, поэтому $\angle B_1C_1K = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.В этом прямоугольном треугольнике гипотенуза $B_1C_1 = 1$.Катет $B_1K$ противолежит углу $60^\circ$, поэтому его длина равна:$B_1K = B_1C_1 \cdot \sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь мы имеем два взаимно перпендикулярных отрезка: $BB_1$ (высота призмы) и $B_1K$ (перпендикуляр в плоскости основания). Эти отрезки являются катетами прямоугольного треугольника $\triangle BB_1K$. Искомое расстояние $BK$ является гипотенузой этого треугольника.

По теореме Пифагора:$BK^2 = BB_1^2 + B_1K^2$$BK^2 = 1^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$$BK^2 = 1 + \frac{3}{4}$$BK^2 = \frac{4}{4} + \frac{3}{4}$$BK^2 = \frac{7}{4}$$BK = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{2}$