Номер 10, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $A_1 F_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $A_1F_1$.

Решение:

Искомое расстояние от точки $B$ до прямой $A_1F_1$ - это длина перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $A_1F_1$. Пусть $H$ - основание этого перпендикуляра.

Рассмотрим треугольник $BB_1H$. Поскольку $BB_1$ является ребром призмы, $BB_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Прямая $A_1F_1$ лежит в этой плоскости. Если $B_1H$ - перпендикуляр, опущенный из $B_1$ на $A_1F_1$ в плоскости верхнего основания, то $B_1H \perp A_1F_1$. В таком случае, по теореме о трех перпендикулярах, $BH \perp A_1F_1$. Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка $BH$.

Треугольник $BB_1H$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B_1$.

Длина катета $BB_1$ равна высоте призмы, которая совпадает с длиной ребра призмы: $BB_1 = 1$.

Длина катета $B_1H$ - это расстояние от вершины $B_1$ до стороны $A_1F_1$ в правильном шестиугольнике $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ со стороной $a=1$.

Для нахождения $B_1H$ рассмотрим треугольник $A_1B_1F_1$. Стороны $A_1B_1$ и $A_1F_1$ являются смежными сторонами правильного шестиугольника, поэтому их длины равны 1: $A_1B_1 = 1$, $A_1F_1 = 1$. Угол между этими сторонами в правильном шестиугольнике равен $120^\circ$, то есть $\angle F_1A_1B_1 = 120^\circ$.

Опустим перпендикуляр $B_1H$ из точки $B_1$ на прямую, содержащую сторону $A_1F_1$. Так как $\angle F_1A_1B_1 = 120^\circ$ (тупой угол), основание перпендикуляра $H$ будет лежать на продолжении отрезка $F_1A_1$ за точку $A_1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1HB_1$. В этом треугольнике гипотенуза $A_1B_1 = 1$. Угол $\angle HA_1B_1$ является смежным с углом $\angle F_1A_1B_1$, поэтому $\angle HA_1B_1 = 180^\circ - \angle F_1A_1B_1 = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Теперь мы можем найти длину катета $B_1H$ в треугольнике $A_1HB_1$:

$B_1H = A_1B_1 \cdot \sin(\angle HA_1B_1)$

$B_1H = 1 \cdot \sin(60^\circ)$

$B_1H = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь, зная длины катетов прямоугольного треугольника $BB_1H$ ($BB_1 = 1$ и $B_1H = \frac{\sqrt{3}}{2}$), найдем длину гипотенузы $BH$ по теореме Пифагора:

$BH^2 = BB_1^2 + B_1H^2$

$BH^2 = 1^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$BH^2 = 1 + \frac{3}{4}$

$BH^2 = \frac{4}{4} + \frac{3}{4}$

$BH^2 = \frac{7}{4}$

$BH = \sqrt{\frac{7}{4}}$

$BH = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}}$

$BH = \frac{\sqrt{7}}{2}$

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до прямой $A_1F_1$ равно $\frac{\sqrt{7}}{2}$.