Номер 8, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $SD$.

Дано:

Пирамида $SABCDEF$ - правильная шестиугольная.

Сторона основания $a = 1$.

Боковое ребро $l = 2$.

(Перевод данных в СИ не требуется, так как единицы измерения не указаны.)

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $SD$.

Решение:

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. В данном случае это высота треугольника $BSD$, опущенная из вершины $B$ на сторону $SD$.

Рассмотрим треугольник $BSD$.

1. Найдем длины сторон треугольника $BSD$:

• $SB$ — это боковое ребро пирамиды, по условию $SB = l = 2$.
• $SD$ — это боковое ребро пирамиды, по условию $SD = l = 2$.
• $BD$ — это диагональ правильного шестиугольника $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике сторона которого равна $a$, короткая диагональ (соединяющая вершины через одну, например, $B$ и $D$) равна $a\sqrt{3}$. Таким образом, $BD = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Итак, треугольник $BSD$ является равнобедренным со сторонами $SB=2$, $SD=2$ и $BD=\sqrt{3}$.

2. Найдем площадь треугольника $BSD$. Можно использовать формулу Герона или найти высоту, опущенную на основание $BD$.

Пусть $M$ — середина $BD$. Тогда $SM$ — высота треугольника $BSD$, опущенная на $BD$.

$BM = BD / 2 = \sqrt{3} / 2$.

В прямоугольном треугольнике $SMB$ (так как $SM$ - высота равнобедренного треугольника к основанию), по теореме Пифагора:

$SM^2 = SB^2 - BM^2$

$SM^2 = 2^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 4 - \frac{3}{4} = \frac{16-3}{4} = \frac{13}{4}$

$SM = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$.

Площадь треугольника $BSD$ ($A_{BSD}$) равна:

$A_{BSD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{13}}{2} = \frac{\sqrt{39}}{4}$.

3. Найдем расстояние от точки $B$ до прямой $SD$. Это и есть высота $h_B$, опущенная из $B$ на $SD$.

Площадь треугольника $BSD$ также может быть выражена как:

$A_{BSD} = \frac{1}{2} \cdot SD \cdot h_B$.

Подставляя известные значения:

$\frac{\sqrt{39}}{4} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot h_B$

$\frac{\sqrt{39}}{4} = h_B$.

Ответ: $\frac{\sqrt{39}}{4}$