Номер 15, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $A_1D_1$.

Дано

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной шестиугольной призмой.

Длина всех рёбер призмы равна 1. Это означает, что сторона основания $a = 1$ и высота призмы $h = 1$.

Найти

Расстояние от точки $B$ до прямой $A_1D_1$.

Решение

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$.

Поскольку призма правильная, её основание $ABCDEF$ является правильным шестиугольником со стороной $a=1$. Высота призмы $h=1$.

Ориентируем шестиугольник так, чтобы вершина $A$ лежала на положительной оси $x$. Координаты вершин нижнего основания:

Вершина $A$: $(a \cdot \cos(0^\circ), a \cdot \sin(0^\circ), 0) = (1, 0, 0)$.

Вершина $B$: $(a \cdot \cos(60^\circ), a \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1 \cdot 1/2, 1 \cdot \sqrt{3}/2, 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Вершина $D$: $(a \cdot \cos(180^\circ), a \cdot \sin(180^\circ), 0) = (1 \cdot (-1), 1 \cdot 0, 0) = (-1, 0, 0)$.

Соответствующие вершины верхнего основания $A_1, B_1, C_1, D_1, E_1, F_1$ будут иметь те же $x$ и $y$ координаты, но $z$ координату, равную высоте призмы $h=1$.

Координаты точки $A_1$: $(1, 0, 1)$.

Координаты точки $D_1$: $(-1, 0, 1)$.

Координаты точки $B$: $(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Нам нужно найти расстояние от точки $B$ до прямой $A_1D_1$. Прямая $A_1D_1$ проходит через точки $A_1(1,0,1)$ и $D_1(-1,0,1)$. Заметим, что эта прямая лежит в плоскости $y=0, z=1$ и параллельна оси $x$. Точки на этой прямой имеют вид $(x, 0, 1)$, где $x \in [-1, 1]$.

Найдем точку $P(x_P, y_P, z_P)$ на прямой $A_1D_1$, которая является ближайшей к точке $B$. Расстояние $BP$ будет искомым расстоянием. Для точки на прямой $A_1D_1$, $y_P=0$ и $z_P=1$. Таким образом, точка $P$ имеет координаты $(x_P, 0, 1)$.

Квадрат расстояния $BP^2$ вычисляется по формуле:

$BP^2 = (x_P - x_B)^2 + (y_P - y_B)^2 + (z_P - z_B)^2$

$BP^2 = (x_P - 1/2)^2 + (0 - \sqrt{3}/2)^2 + (1 - 0)^2$

$BP^2 = (x_P - 1/2)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2$

$BP^2 = (x_P - 1/2)^2 + 3/4 + 1$

$BP^2 = (x_P - 1/2)^2 + 7/4$

Чтобы минимизировать $BP^2$ (и, следовательно, $BP$), необходимо минимизировать член $(x_P - 1/2)^2$. Это достигается, когда $x_P - 1/2 = 0$, то есть $x_P = 1/2$.Точка $P$ на прямой $A_1D_1$, ближайшая к $B$, имеет координаты $(1/2, 0, 1)$. Заметим, что эта точка лежит на отрезке $A_1D_1$, так как её $x$-координата $1/2$ находится между $A_1(-1)$ и $D_1(1)$.

Теперь подставим $x_P = 1/2$ в выражение для $BP^2$:

$BP^2 = (1/2 - 1/2)^2 + 7/4$

$BP^2 = 0^2 + 7/4$

$BP^2 = 7/4$

Искомое расстояние $BP$ равно:

$BP = \sqrt{7/4} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{2}$