Номер 21, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

21. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $CA_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Перевод в СИ:

Данные представлены в относительных единицах. Длина ребра основания $a=1$ (условная единица длины). Высота призмы $h=1$ (условная единица длины).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $CA_1$.

Решение:

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть центр нижнего основания $O$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Так как призма правильная, и все ребра равны 1, то длина стороны основания шестиугольника $a=1$, и высота призмы $h=1$.

В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. Расстояние от центра шестиугольника до любой его вершины равно длине стороны. Пусть вершина $A$ лежит на оси $Ox$.

Координаты вершин нижнего основания $ABCDEF$:

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

Координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (с учетом высоты $h=1$):

• $A_1 = (1, 0, 1)$
• $C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Нам необходимо найти расстояние от точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до прямой $CA_1$. Прямая $CA_1$ проходит через точки $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $A_1(1, 0, 1)$.

Для нахождения расстояния от точки до прямой в трехмерном пространстве используем векторную формулу:

$d = \frac{|\vec{QP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$,

где $P$ - точка, от которой ищем расстояние ($B$), $Q$ - любая точка на прямой ($C$), $\vec{v}$ - направляющий вектор прямой ($ \vec{CA_1} $).

1. Найдем направляющий вектор прямой $CA_1$:
$\vec{v} = \vec{CA_1} = A_1 - C = (1 - (-1/2), 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (3/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

2. Найдем вектор $\vec{QP}$, соединяющий точку на прямой $C$ и заданную точку $B$:
$\vec{QP} = \vec{CB} = B - C = (1/2 - (-1/2), \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (1, 0, 0)$.

3. Вычислим векторное произведение $\vec{CB} \times \vec{CA_1}$:

$\vec{CB} \times \vec{CA_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 3/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i}((0)(1) - (0)(-\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j}((1)(1) - (0)(3/2)) + \mathbf{k}((1)(-\sqrt{3}/2) - (0)(3/2))$

$= (0) \mathbf{i} - (1) \mathbf{j} + (-\sqrt{3}/2) \mathbf{k}$

$= (0, -1, -\sqrt{3}/2)$.

4. Вычислим модуль векторного произведения:

$|\vec{CB} \times \vec{CA_1}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{0 + 1 + 3/4} = \sqrt{7/4} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

5. Вычислим модуль направляющего вектора $\vec{CA_1}$:

$|\vec{CA_1}| = \sqrt{(3/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{9/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{12/4 + 1} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

6. Найдем расстояние $d$:

$d = \frac{|\vec{CB} \times \vec{CA_1}|}{|\vec{CA_1}|} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

Ответ: $ \frac{\sqrt{7}}{4} $