Номер 25, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

25. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $FD_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна 1. Это означает, что сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $FD_1$.

Решение

Для решения задачи используем метод координат. Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $O(0,0,0)$. Ось $Ox$ направим вдоль $OA$.

В правильном шестиугольнике со стороной $a=1$, координаты вершин будут:

• Координаты точки $B$ (вершина нижнего основания): $B(a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ), 0) = B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

• Координаты точки $F$ (вершина нижнего основания): $F(a \cos(300^\circ), a \sin(300^\circ), 0) = F(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

• Координаты точки $D_1$ (вершина верхнего основания, $z$-координата равна высоте призмы $h=1$): $D_1(a \cos(180^\circ), a \sin(180^\circ), 1) = D_1(-1, 0, 1)$.

Расстояние от точки $P_0$ до прямой, проходящей через точку $P_1$ с направляющим вектором $\vec{v}$, можно найти по формуле:

$d = \frac{|\vec{P_1P_0} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$

В нашем случае:

• Данная точка $P_0 = B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

• Прямая $FD_1$. В качестве точки $P_1$ на прямой выберем $F = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

• Направляющий вектор прямой $\vec{v} = \vec{FD_1} = D_1 - F$.

Вычислим компоненты вектора $\vec{FD_1}$:

$\vec{FD_1} = (-1 - 1/2, 0 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 0) = (-3/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Вычислим компоненты вектора $\vec{P_1P_0} = \vec{FB} = B - F$:

$\vec{FB} = (1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - (-\sqrt{3}/2), 0 - 0) = (0, \sqrt{3}, 0)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{FB} \times \vec{FD_1}$:

$\vec{FB} \times \vec{FD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ -3/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i}(\sqrt{3} \cdot 1 - 0 \cdot \sqrt{3}/2) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-3/2)) + \mathbf{k}(0 \cdot \sqrt{3}/2 - \sqrt{3} \cdot (-3/2))$

$= \mathbf{i}(\sqrt{3}) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(3\sqrt{3}/2) = (\sqrt{3}, 0, 3\sqrt{3}/2)$.

Найдем модуль векторного произведения:

$|\vec{FB} \times \vec{FD_1}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 0^2 + (3\sqrt{3}/2)^2}$

$= \sqrt{3 + 0 + (9 \cdot 3 / 4)}$

$= \sqrt{3 + 27/4} = \sqrt{12/4 + 27/4} = \sqrt{39/4} = \frac{\sqrt{39}}{2}$.

Найдем модуль направляющего вектора $\vec{FD_1}$:

$|\vec{FD_1}| = \sqrt{(-3/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 1^2}$

$= \sqrt{9/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{12/4 + 1} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Теперь вычислим искомое расстояние $d$:

$d = \frac{|\vec{FB} \times \vec{FD_1}|}{|\vec{FD_1}|} = \frac{\frac{\sqrt{39}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{39}}{4}$.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до прямой $FD_1$ равно $\frac{\sqrt{39}}{4}$.