Номер 1, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

1. В единичном кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $ACB_1$.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Точка $B$.

Плоскость $ACB_1$.

Перевод в СИ

Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины).

Найти

Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACB_1$.

Решение

Введем декартову систему координат с началом в точке $A=(0,0,0)$. Оси $x, y, z$ направим вдоль ребер $AB, AD, AA_1$ соответственно. Поскольку куб единичный, длина его ребра равна 1.

Координаты необходимых вершин будут:

• $A = (0,0,0)$

• $B = (1,0,0)$

• $C = (1,1,0)$ (поскольку $ABCD$ - квадрат на плоскости $z=0$)

• $B_1 = (1,0,1)$ (поскольку $B_1$ находится над $B$ на высоте 1)

Найдем уравнение плоскости $ACB_1$. Для этого нам нужны два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, и одна точка в плоскости. Возьмем векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AB_1}$:

• Вектор $\vec{AC} = C - A = (1-0, 1-0, 0-0) = (1,1,0)$

• Вектор $\vec{AB_1} = B_1 - A = (1-0, 0-0, 1-0) = (1,0,1)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $ACB_1$ можно найти как векторное произведение этих двух векторов:

$\vec{n} = \vec{AC} \times \vec{AB_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \vec{k}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = 1\vec{i} - 1\vec{j} - 1\vec{k} = (1,-1,-1)$

Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используя компоненты нормального вектора $\vec{n}=(1,-1,-1)$, получаем $1x - 1y - 1z + D = 0$, или $x - y - z + D = 0$.

Чтобы найти $D$, подставим координаты любой точки, лежащей в плоскости, например, $A=(0,0,0)$:

$0 - 0 - 0 + D = 0 \implies D = 0$

Таким образом, уравнение плоскости $ACB_1$ есть $x - y - z = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $B=(1,0,0)$ до плоскости $x - y - z = 0$. Формула для расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ выглядит так:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае, точка $B=(x_0, y_0, z_0) = (1,0,0)$, а уравнение плоскости $ACB_1$ имеет коэффициенты $A=1, B=-1, C=-1, D=0$.

Подставим эти значения в формулу:

$d = \frac{|1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + 0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2}}$

$d = \frac{|1 + 0 + 0 + 0|}{\sqrt{1 + 1 + 1}}$

$d = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$d = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACB_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.