Номер 2, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

2. В единичном кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $DA_1 C_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Перевод в СИ:

Единицы измерения не требуются, так как результат будет безразмерным.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $DA_1C_1$.

Решение:

Введем декартову систему координат с началом в точке $D(0,0,0)$. Ось $Dx$ направим вдоль $DA$, ось $Dy$ вдоль $DC$, ось $Dz$ вдоль $DD_1$.

Координаты вершин куба (для ребра $a=1$):
$D = (0,0,0)$
$A = (1,0,0)$
$B = (1,1,0)$
$C = (0,1,0)$
$D_1 = (0,0,1)$
$A_1 = (1,0,1)$
$B_1 = (1,1,1)$
$C_1 = (0,1,1)$

Требуется найти расстояние от точки $B(1,1,0)$ до плоскости $DA_1C_1$.

Найдем уравнение плоскости $DA_1C_1$. Точки, лежащие в плоскости: $D(0,0,0)$, $A_1(1,0,1)$, $C_1(0,1,1)$.

Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D_p = 0$.

Поскольку плоскость проходит через начало координат $D(0,0,0)$, то $A(0) + B(0) + C(0) + D_p = 0$, следовательно $D_p = 0$.

Уравнение плоскости примет вид $Ax + By + Cz = 0$.

Используем координаты точек $A_1$ и $C_1$:
Для $A_1(1,0,1)$: $A(1) + B(0) + C(1) = 0 \Rightarrow A + C = 0 \Rightarrow C = -A$.
Для $C_1(0,1,1)$: $A(0) + B(1) + C(1) = 0 \Rightarrow B + C = 0 \Rightarrow B = -C$.

Из полученных соотношений следует, что $B = -C = -(-A) = A$.

Примем $A=1$, тогда $B=1$ и $C=-1$.

Уравнение плоскости $DA_1C_1$ имеет вид $x + y - z = 0$.

Расстояние от точки $P(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D_p = 0$ вычисляется по формуле:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D_p|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Для точки $B(1,1,0)$ и плоскости $x + y - z = 0$ (где $A=1, B=1, C=-1, D_p=0$):
$d = \frac{|1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + 0|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}}$
$d = \frac{|1 + 1 - 0|}{\sqrt{1 + 1 + 1}}$
$d = \frac{|2|}{\sqrt{3}}$
$d = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$d = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $DA_1C_1$ равно $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.