Номер 9, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $CA_1B_1$.

Дано

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер призмы равна 1.

То есть, $AB = BC = CA = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $CA_1B_1$.

Решение

Обозначим длину ребра призмы $a=1$.

Введем декартову систему координат.

Пусть начало координат находится в точке $C(0,0,0)$.

Поместим сторону $CA$ на ось $Ox$. Тогда координаты точки $A$ будут $(a,0,0)$.

Поскольку треугольник $ABC$ является правильным, координаты точки $B$ в плоскости $Oxy$ будут $(a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ), 0)$.

Подставив $a=1$, получаем координаты точек:

$C=(0,0,0)$

$A=(1,0,0)$

$B=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

Так как призма правильная, боковые ребра перпендикулярны основаниям. Высота призмы равна длине ребра, то есть 1. Следовательно, координаты вершин верхнего основания будут иметь $z$-координату, равную 1.

$C_1=(0,0,1)$

$A_1=(1,0,1)$

$B_1=(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Требуется найти расстояние от точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до плоскости $CA_1B_1$.

Найдем уравнение плоскости $CA_1B_1$. Плоскость проходит через точки $C(0,0,0)$, $A_1(1,0,1)$, $B_1(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Так как плоскость проходит через начало координат $C(0,0,0)$, свободный член $D$ в общем уравнении плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ равен нулю.

Найдем два вектора, лежащие в этой плоскости:

$\vec{CA_1} = A_1 - C = (1-0, 0-0, 1-0) = (1,0,1)$

$\vec{CB_1} = B_1 - C = (1/2-0, \sqrt{3}/2-0, 1-0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Вектор нормали к плоскости $\vec{n} = (A,B,C)$ найдем как векторное произведение $\vec{CA_1} \times \vec{CB_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$

$\vec{n} = \vec{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot \sqrt{3}/2) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 1/2) + \vec{k}(1 \cdot \sqrt{3}/2 - 0 \cdot 1/2)$

$\vec{n} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{i} - \frac{1}{2}\vec{j} + \frac{\sqrt{3}}{2}\vec{k}$

Таким образом, коэффициенты нормального вектора: $A = -\sqrt{3}/2$, $B = -1/2$, $C = \sqrt{3}/2$.

Для удобства можем умножить все коэффициенты на $-2$, получим эквивалентный нормальный вектор: $\vec{n}' = (\sqrt{3}, 1, -\sqrt{3})$.

Уравнение плоскости $CA_1B_1$ имеет вид: $\sqrt{3}x + 1y - \sqrt{3}z = 0$.

Расстояние от точки $P_0(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае: точка $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, плоскость $\sqrt{3}x + y - \sqrt{3}z = 0$.

Параметры плоскости: $A = \sqrt{3}$, $B = 1$, $C = -\sqrt{3}$, $D = 0$.

Координаты точки $B$: $x_0 = 1/2$, $y_0 = \sqrt{3}/2$, $z_0 = 0$.

Подставляем значения в формулу:

$d = \frac{|\sqrt{3} \cdot (1/2) + 1 \cdot (\sqrt{3}/2) - \sqrt{3} \cdot 0 + 0|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2 + (-\sqrt{3})^2}}$

$d = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 0|}{\sqrt{3 + 1 + 3}}$

$d = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{7}}$

$d = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Для устранения иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:

$d = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Ответ:

$\frac{\sqrt{21}}{7}$