Номер 12, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны $1$, точка $E$ — середина ребра $SD$. Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $ACE$.

Дано:
Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.
Все ребра равны 1: $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$.
Точка $E$ — середина ребра $SD$.

Перевод в систему СИ:
Длины ребер заданы в условных единицах (безразмерные), поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACE$.

Решение:
Для решения задачи воспользуемся методом координат.
1. Разместим начало координат $O$ в центре основания пирамиды $ABCD$.
Поскольку пирамида правильная, $S$ находится на оси $z$. Длина стороны основания $a = 1$. Длина диагонали основания $AC = BD = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Расстояние от центра основания до любой вершины основания равно $OA = OB = OC = OD = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Высота пирамиды $SO$ может быть найдена из прямоугольного треугольника $SOB$: $SO^2 = SB^2 - OB^2 = 1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Таким образом, $SO = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
2. Определим координаты вершин и точки $E$.
Пусть оси $x$ и $y$ параллельны сторонам основания.
$A = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$
$B = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$
$C = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$
$D = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$
$S = \left(0, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
Точка $E$ — середина ребра $SD$. Используем формулу для координат середины отрезка:
$E = \left(\frac{S_x + D_x}{2}, \frac{S_y + D_y}{2}, \frac{S_z + D_z}{2}\right) = \left(\frac{0 - \frac{1}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{1}{2}}{2}, \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + 0}{2}\right) = \left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$.
3. Найдем уравнение плоскости $ACE$.
Для этого найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{AC}$ и $\vec{AE}$.
$\vec{AC} = C - A = \left(\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right), \frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right), 0 - 0\right) = (1, 1, 0)$.
$\vec{AE} = E - A = \left(-\frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{2}\right), \frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{2}\right), \frac{\sqrt{2}}{4} - 0\right) = \left(-\frac{1}{4} + \frac{2}{4}, \frac{1}{4} + \frac{2}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right) = \left(\frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$.
Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $ACE$ можно найти как векторное произведение $\vec{AC} \times \vec{AE}$.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1/4 & 3/4 & \sqrt{2}/4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}\left(1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} - 0 \cdot \frac{3}{4}\right) - \mathbf{j}\left(1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} - 0 \cdot \frac{1}{4}\right) + \mathbf{k}\left(1 \cdot \frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{1}{4}\right)$
$\vec{n} = \left(\frac{\sqrt{2}}{4}, -\frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{2}{4}\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{4}, -\frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{1}{2}\right)$.
Для удобства умножим нормальный вектор на 4: $\vec{n'} = (\sqrt{2}, -\sqrt{2}, 2)$.
Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим компоненты $\vec{n'}$:
$\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 2z + D = 0$.
Для нахождения $D$ подставим координаты точки $A(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$ в уравнение плоскости:
$\sqrt{2}\left(-\frac{1}{2}\right) - \sqrt{2}\left(-\frac{1}{2}\right) + 2(0) + D = 0$
$-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 + D = 0 \Rightarrow D = 0$.
Таким образом, уравнение плоскости $ACE$ есть $\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 2z = 0$.
4. Найдем расстояние от точки $B\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$ до плоскости $ACE$.
Используем формулу расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:
$h = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.
В нашем случае $A=\sqrt{2}$, $B=-\sqrt{2}$, $C=2$, $D=0$. Точка $B(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$.
$h = \frac{\left|\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}\right) - \sqrt{2}\left(-\frac{1}{2}\right) + 2(0) + 0\right|}{\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2 + 2^2}}$
$h = \frac{\left|\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right|}{\sqrt{2 + 2 + 4}}$
$h = \frac{|\sqrt{2}|}{\sqrt{8}}$
$h = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$
$h = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$