Номер 19, страница 165 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $SCF$.

Дано:

Пирамида правильная шестиугольная $SABCDEF$.

Сторона основания $a = 1$ (единица длины).

Боковое ребро $l = 2$ (единицы длины).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SCF$, $d(B, SCF)$.

Решение:

Пусть $O$ - центр основания пирамиды. В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. Следовательно, $OA = OB = OC = OD = OE = OF = a = 1$.

Найдем высоту пирамиды $SO$. В прямоугольном треугольнике $SOA$ ($SO \perp OA$):

$SO^2 + OA^2 = SA^2$

$h^2 + a^2 = l^2$

$h^2 + 1^2 = 2^2$

$h^2 = 4 - 1 = 3$

$h = \sqrt{3}$

Таким образом, вершина $S$ имеет координаты $(0, 0, \sqrt{3})$, если центр $O$ находится в начале координат $(0,0,0)$ и основание лежит в плоскости $xy$.

Рассмотрим основание пирамиды - правильный шестиугольник $ABCDEF$.

Длинная диагональ $CF$ проходит через центр $O$. Ее длина $CF = CO + OF = a + a = 1 + 1 = 2$.

Рассмотрим треугольник $BCF$. Стороны: $BC = a = 1$ (сторона шестиугольника).

Найдем длину стороны $BF$. В правильном шестиугольнике угол $BOF = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$. Треугольник $BOF$ равнобедренный с $OB=OF=1$. По теореме косинусов для $\triangle BOF$:

$BF^2 = OB^2 + OF^2 - 2 \cdot OB \cdot OF \cdot \cos(\angle BOF)$

$BF^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$

$BF^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2})$

$BF^2 = 2 + 1 = 3$

$BF = \sqrt{3}$

Теперь рассмотрим треугольник $BCF$. Его стороны: $BC=1$, $CF=2$, $BF=\sqrt{3}$.

Проверим, является ли он прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора:

$BC^2 + BF^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$

$CF^2 = 2^2 = 4$

Так как $BC^2 + BF^2 = CF^2$, треугольник $BCF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle CBF = 90^\circ$).

Плоскость $SCF$ содержит вершину $S$ и диагональ $CF$. Заметим, что линия $CF$ проходит через центр $O$ основания. Если мы поместим $O$ в начало координат, а ось $z$ направим вдоль $SO$, то плоскость $SCF$ будет вертикальной плоскостью, перпендикулярной плоскости основания ($xy$-плоскости). Это подтверждается, если вычислить нормаль к плоскости $SCF$ с координатами $S(0,0,\sqrt{3})$, $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. Нормальный вектор будет иметь $z$-координату равную нулю, что означает перпендикулярность к $xy$-плоскости.

Расстояние от точки $B$ до вертикальной плоскости $SCF$ равно расстоянию от точки $B$ до линии пересечения этой плоскости с плоскостью основания. Линией пересечения плоскости $SCF$ с плоскостью основания является прямая $CF$.

Следовательно, задача сводится к нахождению расстояния от точки $B$ до прямой $CF$ в плоскости основания.

Мы знаем, что треугольник $BCF$ является прямоугольным в $B$. Расстояние от вершины прямого угла до гипотенузы равно высоте, опущенной на гипотенузу.

Пусть $h_B$ - высота, опущенная из вершины $B$ на гипотенузу $CF$.

Площадь треугольника $BCF$ может быть вычислена двумя способами:

$Area(\triangle BCF) = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BF$ (т.к. $\angle CBF = 90^\circ$)

$Area(\triangle BCF) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Или через основание $CF$ и высоту $h_B$:

$Area(\triangle BCF) = \frac{1}{2} \cdot CF \cdot h_B$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot h_B$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = h_B$

Таким образом, расстояние от точки $B$ до плоскости $SCF$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$