Номер 24, страница 165 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

24. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $DEA_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Перевод в СИ:

Сторона основания $a = 1$.

Высота призмы $h = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $DEA_1$.

Решение:

Введем прямоугольную систему координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Расположим вершину $A$ на оси $Ox$.

Координаты вершин нижнего основания (сторона $a=1$):

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$
• $E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Поскольку высота призмы $h=1$, координаты вершин верхнего основания будут иметь $z$-координату 1.

Координаты точки $A_1$: $A_1 = (1, 0, 1)$.

Нам даны точка $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и плоскость, проходящая через точки $D(-1, 0, 0)$, $E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ и $A_1(1, 0, 1)$.

Найдем уравнение плоскости $DEA_1$. Для этого определим два вектора, лежащих в этой плоскости:

Вектор $\vec{DE}$: $E - D = (-1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Вектор $\vec{DA_1}$: $A_1 - D = (1 - (-1), 0 - 0, 1 - 0) = (2, 0, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $DEA_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{DE}$ и $\vec{DA_1}$:

$\vec{n} = \vec{DE} \times \vec{DA_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

Вычислим компоненты нормального вектора:

$n_x = (-\sqrt{3}/2) \cdot 1 - 0 \cdot 0 = -\sqrt{3}/2$

$n_y = 0 \cdot 2 - (1/2) \cdot 1 = -1/2$

$n_z = (1/2) \cdot 0 - (-\sqrt{3}/2) \cdot 2 = \sqrt{3}$

Таким образом, $\vec{n} = (-\sqrt{3}/2, -1/2, \sqrt{3})$. Для удобства вычислений умножим этот вектор на $-2$, получим нормальный вектор $\vec{n}' = (\sqrt{3}, 1, -2\sqrt{3})$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D_{pl} = 0$. Используя $\vec{n}'$, получаем:

$\sqrt{3}x + 1y - 2\sqrt{3}z + D_{pl} = 0$

Для нахождения $D_{pl}$ подставим координаты точки $D(-1, 0, 0)$ в уравнение плоскости:

$\sqrt{3}(-1) + 1(0) - 2\sqrt{3}(0) + D_{pl} = 0$

$-\sqrt{3} + D_{pl} = 0 \implies D_{pl} = \sqrt{3}$

Таким образом, уравнение плоскости $DEA_1$ имеет вид:

$\sqrt{3}x + y - 2\sqrt{3}z + \sqrt{3} = 0$

Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D_{pl} = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D_{pl}|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае, точка $B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, и уравнение плоскости $\sqrt{3}x + y - 2\sqrt{3}z + \sqrt{3} = 0$.

Здесь $A = \sqrt{3}$, $B = 1$, $C = -2\sqrt{3}$, $D_{pl} = \sqrt{3}$.

Подставим значения в формулу расстояния:

$d = \frac{|\sqrt{3}(1/2) + 1(\sqrt{3}/2) - 2\sqrt{3}(0) + \sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2 + (-2\sqrt{3})^2}}$

$d = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 + \sqrt{3}|}{\sqrt{3 + 1 + 4 \cdot 3}}$

$d = \frac{|\sqrt{3} + \sqrt{3}|}{\sqrt{3 + 1 + 12}}$

$d = \frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{16}}$

$d = \frac{2\sqrt{3}}{4}$

$d = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ:

Расстояние от точки B до плоскости DEA₁ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.