Номер 23, страница 165 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

23. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны $1$, а боковые ребра равны $2$, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $SDF$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Сторона основания $a = AB = BC = CD = DE = EF = FA = 1$.

Боковое ребро $l = SA = SB = SC = SD = SE = SF = 2$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SDF$, т.е. $d(B, SDF)$.

Решение:

1. Найдем высоту пирамиды $SO$.

В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. Пусть $O$ - центр основания. Тогда $OA = OB = OD = OF = a = 1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$, где $SO$ - высота, $OA$ - радиус описанной окружности основания, $SA$ - боковое ребро.

$SO^2 + OA^2 = SA^2$

$SO^2 + 1^2 = 2^2$

$SO^2 + 1 = 4$

$SO^2 = 3$

$SO = \sqrt{3}$

2. Используем метод объема для нахождения расстояния.

Расстояние от точки до плоскости можно найти по формуле $h = \frac{3V}{A}$, где $V$ - объем тетраэдра, образованного точкой и плоскостью, $A$ - площадь треугольника, лежащего в этой плоскости.

Рассмотрим тетраэдр $SBFD$. Расстояние от точки $B$ до плоскости $SDF$ равно $d(B, SDF) = \frac{3 \cdot V_{SBFD}}{Area(SDF)}$.

3. Вычислим объем тетраэдра $SBFD$.

Объем тетраэдра $V_{SBFD}$ можно также найти как $\frac{1}{3} \cdot Area(BDF) \cdot SO$, так как $SO$ является высотой пирамиды, а значит, и высотой тетраэдра $SBFD$ к его основанию $BDF$, лежащему в плоскости основания пирамиды.

Найдем стороны треугольника $BDF$:

• $BF$: это диагональ шестиугольника, соединяющая вершины через одну. В правильном шестиугольнике эта диагональ равна $a\sqrt{3}$. Так как $a=1$, то $BF = 1\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
• $DF$: это также диагональ шестиугольника, соединяющая вершины через одну. $DF = a\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
• $BD$: также диагональ шестиугольника, соединяющая вершины через одну. $BD = a\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Таким образом, треугольник $BDF$ является равносторонним треугольником со стороной $\sqrt{3}$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле $Area = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$.

$Area(BDF) = \frac{(\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Теперь вычислим объем тетраэдра $SBFD$:

$V_{SBFD} = \frac{1}{3} \cdot Area(BDF) \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{4} \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot 3 = \frac{3}{4}$.

4. Вычислим площадь треугольника $SDF$.

Стороны треугольника $SDF$:

• $SD = 2$ (боковое ребро)
• $SF = 2$ (боковое ребро)
• $DF = \sqrt{3}$ (диагональ основания, вычислена ранее)

Треугольник $SDF$ является равнобедренным. Найдем его высоту $SM$, опущенную из вершины $S$ на основание $DF$. $M$ - середина $DF$.

$DM = MF = \frac{DF}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $SMF$ (или $SMD$):

$SM^2 + MF^2 = SF^2$

$SM^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 2^2$

$SM^2 + \frac{3}{4} = 4$

$SM^2 = 4 - \frac{3}{4} = \frac{16-3}{4} = \frac{13}{4}$

$SM = \frac{\sqrt{13}}{2}$.

Площадь треугольника $SDF$:

$Area(SDF) = \frac{1}{2} \cdot DF \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{13}}{2} = \frac{\sqrt{39}}{4}$.

5. Вычислим расстояние от точки $B$ до плоскости $SDF$.

$d(B, SDF) = \frac{3 \cdot V_{SBFD}}{Area(SDF)} = \frac{3 \cdot \frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{39}}{4}} = \frac{\frac{9}{4}}{\frac{\sqrt{39}}{4}} = \frac{9}{\sqrt{39}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$d(B, SDF) = \frac{9}{\sqrt{39}} \cdot \frac{\sqrt{39}}{\sqrt{39}} = \frac{9\sqrt{39}}{39}$.

Сократим дробь на 3:

$d(B, SDF) = \frac{3\sqrt{39}}{13}$.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SDF$ равно $\frac{3\sqrt{39}}{13}$.