Номер 26, страница 165 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

26. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $CFA_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $CFA_1$.

Решение

Разместим призму в декартовой системе координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $(0,0,0)$.

Так как призма правильная шестиугольная, и все ее ребра равны 1, то сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Координаты вершин нижнего основания (при $a=1$):
$A = (1, 0, 0)$
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$D = (-1, 0, 0)$
$E = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$F = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Координаты вершины верхнего основания $A_1$ (так как высота $h=1$):
$A_1 = (1, 0, 1)$.

Нам нужно найти расстояние от точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ до плоскости, проходящей через точки $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $A_1(1, 0, 1)$.

Для определения уравнения плоскости $CFA_1$ найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{A_1C}$ и $\vec{A_1F}$.

$\vec{A_1C} = C - A_1 = (-\frac{1}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 1) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -1)$

$\vec{A_1F} = F - A_1 = (\frac{1}{2} - 1, -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 1) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -1)$

Вектор нормали к плоскости $\vec{n}$ можно найти как векторное произведение $\vec{A_1C} \times \vec{A_1F}$:

$ \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{3}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & -1 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -1 \end{vmatrix} $

$ \vec{n} = \mathbf{i} ((\frac{\sqrt{3}}{2})(-1) - (-1)(-\frac{\sqrt{3}}{2})) - \mathbf{j} ((-\frac{3}{2})(-1) - (-1)(-\frac{1}{2})) + \mathbf{k} ((-\frac{3}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{1}{2})) $

$ \vec{n} = \mathbf{i} (-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j} (\frac{3}{2} - \frac{1}{2}) + \mathbf{k} (\frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}) $

$ \vec{n} = -\sqrt{3}\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + \sqrt{3}\mathbf{k} = (-\sqrt{3}, -1, \sqrt{3}) $

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим компоненты вектора нормали:

$ -\sqrt{3}x - y + \sqrt{3}z + D = 0 $

Используем точку $A_1(1,0,1)$, которая лежит в плоскости, чтобы найти $D$:

$ -\sqrt{3}(1) - (0) + \sqrt{3}(1) + D = 0 $

$ -\sqrt{3} + \sqrt{3} + D = 0 \implies D = 0 $

Таким образом, уравнение плоскости $CFA_1$ есть $ -\sqrt{3}x - y + \sqrt{3}z = 0 $, или умножив на -1, $ \sqrt{3}x + y - \sqrt{3}z = 0 $.

Расстояние от точки $P(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:

$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} $

В нашем случае, точка $B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, а плоскость $ \sqrt{3}x + y - \sqrt{3}z = 0 $. Здесь $A=\sqrt{3}$, $B=1$, $C=-\sqrt{3}$, $D=0$.

$ d = \frac{|\sqrt{3}(\frac{1}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2}) - \sqrt{3}(0) + 0|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (1)^2 + (-\sqrt{3})^2}} $

$ d = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{3 + 1 + 3}} $

$ d = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{7}} $

$ d = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7} $

Ответ: $\frac{\sqrt{21}}{7}$