Страница 165 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны $1$, а боковые ребра равны $2$, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $SCD$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.
Сторона основания $a = 1$.
Боковое ребро $l = 2$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SCD$.

Решение:

1. Найдём высоту пирамиды $SO$.
Пусть $O$ – центр основания пирамиды. В правильном шестиугольнике сторона основания $a$ равна радиусу описанной окружности $R$. Следовательно, $OA = a = 1$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$, где $SA$ – боковое ребро, $OA$ – радиус описанной окружности, $SO$ – высота пирамиды.
По теореме Пифагора: $SO^2 + OA^2 = SA^2$.
Подставим известные значения: $H^2 + 1^2 = 2^2$.
$H^2 + 1 = 4$.
$H^2 = 3$.
Высота пирамиды $SO = \sqrt{3}$.

2. Вычислим объем пирамиды $SBCD$.
Рассмотрим пирамиду $SBCD$ с вершиной $S$ и основанием $BCD$. Высота этой пирамиды относительно основания $BCD$ (лежащего в плоскости основания шестиугольника) равна $SO$.
Для вычисления площади основания $BCD$:
Треугольник $BCD$ образован двумя сторонами шестиугольника ($BC=1$, $CD=1$) и диагональю $BD$. Угол $BCD$ в правильном шестиугольнике равен $120^\circ$.
Площадь треугольника $BCD$ вычисляется по формуле: $S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin(\angle BCD)$.
$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
Объем пирамиды $SBCD$: $V_{SBCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{BCD} \cdot SO$.
$V_{SBCD} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.

3. Вычислим площадь грани $SCD$.
Грань $SCD$ – это треугольник со сторонами $SC=2$, $SD=2$, $CD=1$. Он является равнобедренным.
Пусть $M$ – середина стороны $CD$. Тогда $SM$ – высота треугольника $SCD$.
$CM = \frac{CD}{2} = \frac{1}{2}$.
В прямоугольном треугольнике $SMC$ по теореме Пифагора: $SM^2 + CM^2 = SC^2$.
$SM^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 2^2$.
$SM^2 + \frac{1}{4} = 4$.
$SM^2 = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$.
$SM = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$.
Площадь треугольника $SCD$: $S_{SCD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot SM$.
$S_{SCD} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{15}}{2} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

4. Найдём расстояние от точки $B$ до плоскости $SCD$ методом объема.
Расстояние от точки $B$ до плоскости $SCD$ ($h_B$) можно найти, используя формулу объема пирамиды $BSCD$. Объем пирамиды $BSCD$ совпадает с объемом пирамиды $SBCD$.
$V_{BSCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{SCD} \cdot h_B$.
Мы знаем $V_{SBCD} = \frac{1}{4}$ и $S_{SCD} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.
Подставим эти значения в формулу: $\frac{1}{4} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} \cdot h_B$.
Умножим обе части уравнения на 12 для упрощения:
$3 = \sqrt{15} \cdot h_B$.
Выразим $h_B$: $h_B = \frac{3}{\sqrt{15}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{15}$:$h_B = \frac{3\sqrt{15}}{\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} = \frac{3\sqrt{15}}{15} = \frac{\sqrt{15}}{5}$.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SCD$ равно $\frac{\sqrt{15}}{5}$.

18. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны $1$, а боковые ребра равны $2$, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $SAD$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Сторона основания $AB = 1$.

Боковое ребро $SA = 2$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SAD$.

Решение:

Введем декартову систему координат. Пусть центр основания правильной шестиугольной пирамиды, точка $O$, является началом координат $(0,0,0)$.

В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. Следовательно, $OA = AB = 1$.

Расположим ось $Ox$ так, чтобы она проходила через вершины $A$ и $D$. Тогда координаты вершин $A$ и $D$ будут:

$A = (1, 0, 0)$

$D = (-1, 0, 0)$

Вычислим высоту пирамиды $SO$. В прямоугольном треугольнике $SOA$ ($SO \perp OA$), по теореме Пифагора:

$SO^2 = SA^2 - OA^2$

$SO^2 = 2^2 - 1^2$

$SO^2 = 4 - 1 = 3$

$SO = \sqrt{3}$

Таким образом, координаты вершины $S$ (поскольку $S$ лежит на оси $Oz$) будут:

$S = (0, 0, \sqrt{3})$

Найдем координаты точки $B$. В правильном шестиугольнике угол $AOB$ равен $60^\circ$. Точка $B$ находится на расстоянии $1$ от начала координат под углом $60^\circ$ к оси $Ox$.

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0)$

$B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Теперь определим уравнение плоскости $SAD$. Точки $S(0, 0, \sqrt{3})$, $A(1, 0, 0)$ и $D(-1, 0, 0)$ лежат в этой плоскости. Заметим, что все эти три точки имеют $y$-координату равную $0$. Это означает, что плоскость $SAD$ совпадает с координатной плоскостью $xz$. Уравнение плоскости $xz$ имеет вид $y=0$.

Таким образом, уравнение плоскости $SAD$ есть $0x + 1y + 0z + 0 = 0$, или просто $y=0$.

Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

В нашем случае, точка $B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, а плоскость $SAD$ задана уравнением $y=0$ (т.е. $A=0, B=1, C=0, D=0$).

Подставляем значения в формулу:

$d = \frac{|0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 \cdot 0 + 0|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}$

$d = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{1}}$

$d = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SAD$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

19. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $SCF$.

Дано:

Пирамида правильная шестиугольная $SABCDEF$.

Сторона основания $a = 1$ (единица длины).

Боковое ребро $l = 2$ (единицы длины).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SCF$, $d(B, SCF)$.

Решение:

Пусть $O$ - центр основания пирамиды. В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. Следовательно, $OA = OB = OC = OD = OE = OF = a = 1$.

Найдем высоту пирамиды $SO$. В прямоугольном треугольнике $SOA$ ($SO \perp OA$):

$SO^2 + OA^2 = SA^2$

$h^2 + a^2 = l^2$

$h^2 + 1^2 = 2^2$

$h^2 = 4 - 1 = 3$

$h = \sqrt{3}$

Таким образом, вершина $S$ имеет координаты $(0, 0, \sqrt{3})$, если центр $O$ находится в начале координат $(0,0,0)$ и основание лежит в плоскости $xy$.

Рассмотрим основание пирамиды - правильный шестиугольник $ABCDEF$.

Длинная диагональ $CF$ проходит через центр $O$. Ее длина $CF = CO + OF = a + a = 1 + 1 = 2$.

Рассмотрим треугольник $BCF$. Стороны: $BC = a = 1$ (сторона шестиугольника).

Найдем длину стороны $BF$. В правильном шестиугольнике угол $BOF = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$. Треугольник $BOF$ равнобедренный с $OB=OF=1$. По теореме косинусов для $\triangle BOF$:

$BF^2 = OB^2 + OF^2 - 2 \cdot OB \cdot OF \cdot \cos(\angle BOF)$

$BF^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$

$BF^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2})$

$BF^2 = 2 + 1 = 3$

$BF = \sqrt{3}$

Теперь рассмотрим треугольник $BCF$. Его стороны: $BC=1$, $CF=2$, $BF=\sqrt{3}$.

Проверим, является ли он прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора:

$BC^2 + BF^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$

$CF^2 = 2^2 = 4$

Так как $BC^2 + BF^2 = CF^2$, треугольник $BCF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle CBF = 90^\circ$).

Плоскость $SCF$ содержит вершину $S$ и диагональ $CF$. Заметим, что линия $CF$ проходит через центр $O$ основания. Если мы поместим $O$ в начало координат, а ось $z$ направим вдоль $SO$, то плоскость $SCF$ будет вертикальной плоскостью, перпендикулярной плоскости основания ($xy$-плоскости). Это подтверждается, если вычислить нормаль к плоскости $SCF$ с координатами $S(0,0,\sqrt{3})$, $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. Нормальный вектор будет иметь $z$-координату равную нулю, что означает перпендикулярность к $xy$-плоскости.

Расстояние от точки $B$ до вертикальной плоскости $SCF$ равно расстоянию от точки $B$ до линии пересечения этой плоскости с плоскостью основания. Линией пересечения плоскости $SCF$ с плоскостью основания является прямая $CF$.

Следовательно, задача сводится к нахождению расстояния от точки $B$ до прямой $CF$ в плоскости основания.

Мы знаем, что треугольник $BCF$ является прямоугольным в $B$. Расстояние от вершины прямого угла до гипотенузы равно высоте, опущенной на гипотенузу.

Пусть $h_B$ - высота, опущенная из вершины $B$ на гипотенузу $CF$.

Площадь треугольника $BCF$ может быть вычислена двумя способами:

$Area(\triangle BCF) = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BF$ (т.к. $\angle CBF = 90^\circ$)

$Area(\triangle BCF) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Или через основание $CF$ и высоту $h_B$:

$Area(\triangle BCF) = \frac{1}{2} \cdot CF \cdot h_B$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot h_B$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = h_B$

Таким образом, расстояние от точки $B$ до плоскости $SCF$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

20. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $SAE$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.
Сторона основания: $a = 1$.
Длина бокового ребра: $l = 2$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SAE$.

Решение:

Обозначим центр основания пирамиды как точку $O$. В правильной шестиугольной пирамиде вершина $S$ проецируется в центр основания. Выберем систему координат так, чтобы центр основания $O$ находился в начале координат $(0,0,0)$, а ось $OX$ проходила через вершину $A$ основания.

Поскольку основание - правильный шестиугольник со стороной $a=1$, расстояние от центра $O$ до любой вершины также равно $a=1$. Координаты вершин основания, необходимые для решения: $A = (1, 0, 0)$
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Высота пирамиды $h$ может быть найдена из прямоугольного треугольника $SOA$, где $OA$ - радиус описанной окружности (равен стороне основания $a=1$), а $SA$ - боковое ребро $l=2$. По теореме Пифагора: $h^2 + OA^2 = SA^2$. $h^2 + 1^2 = 2^2$
$h^2 + 1 = 4$
$h^2 = 3$
$h = \sqrt{3}$
Таким образом, координаты вершины $S = (0, 0, \sqrt{3})$.

Теперь найдем уравнение плоскости $SAE$. Для этого нам нужны три точки: $S(0, 0, \sqrt{3})$, $A(1, 0, 0)$, $E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$. Найдем два вектора, лежащих в плоскости: $\vec{AS} = S - A = (0-1, 0-0, \sqrt{3}-0) = (-1, 0, \sqrt{3})$
$\vec{AE} = E - A = (-1/2-1, -\sqrt{3}/2-0, 0-0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $SAE$ можно найти как векторное произведение $\vec{AS} \times \vec{AE}$: $\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & \sqrt{3} \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix}$
$\vec{n} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j}(-1 \cdot 0 - \sqrt{3} \cdot (-3/2)) + \mathbf{k}(-1 \cdot (-\sqrt{3}/2) - 0 \cdot (-3/2))$
$\vec{n} = \mathbf{i}(\frac{3}{2}) - \mathbf{j}(\frac{3\sqrt{3}}{2}) + \mathbf{k}(\frac{\sqrt{3}}{2})$
$\vec{n} = (\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

Для удобства можно использовать пропорциональный нормальный вектор, умножив его на 2: $\vec{n'} = (3, -3\sqrt{3}, \sqrt{3})$. Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. $3x - 3\sqrt{3}y + \sqrt{3}z + D = 0$
Подставим координаты точки $A(1, 0, 0)$, которая лежит в плоскости, в уравнение, чтобы найти $D$: $3(1) - 3\sqrt{3}(0) + \sqrt{3}(0) + D = 0$
$3 + D = 0 \implies D = -3$
Уравнение плоскости $SAE$: $3x - 3\sqrt{3}y + \sqrt{3}z - 3 = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до плоскости $SAE$ по формуле расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
$d = \frac{|3(1/2) - 3\sqrt{3}(\sqrt{3}/2) + \sqrt{3}(0) - 3|}{\sqrt{3^2 + (-3\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2}}$
$d = \frac{|3/2 - (3 \cdot 3)/2 + 0 - 3|}{\sqrt{9 + (9 \cdot 3) + 3}}$
$d = \frac{|3/2 - 9/2 - 3|}{\sqrt{9 + 27 + 3}}$
$d = \frac{|-6/2 - 3|}{\sqrt{39}}$
$d = \frac{|-3 - 3|}{\sqrt{39}}$
$d = \frac{|-6|}{\sqrt{39}}$
$d = \frac{6}{\sqrt{39}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{39}$: $d = \frac{6\sqrt{39}}{\sqrt{39} \cdot \sqrt{39}} = \frac{6\sqrt{39}}{39}$
Сократим дробь на 3: $d = \frac{2\sqrt{39}}{13}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{39}}{13}$

21. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $SCE$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.
Сторона основания $a = 1$.
Боковое ребро $l = 2$.

(Перевод в СИ не требуется, так как единицы измерения не указаны.)

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SCE$.

Решение:

1. Определим координаты вершин пирамиды. Разместим центр основания $O$ в начале координат $(0,0,0)$. Поскольку пирамида правильная, вершина $S$ находится над центром основания, то есть $S=(0,0,h)$, где $h$ — высота пирамиды.
В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. Следовательно, расстояние от центра до любой вершины основания равно $a=1$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром $SC$, высотой пирамиды $SO$ и радиусом основания $OC$.
$SO^2 + OC^2 = SC^2$
$h^2 + 1^2 = 2^2$
$h^2 + 1 = 4$
$h^2 = 3$
$h = \sqrt{3}$.
Таким образом, координаты вершины $S = (0,0,\sqrt{3})$.

2. Определим координаты вершин основания. Разместим вершину $A$ на оси $Ox$.
$A = (1, 0, 0)$
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$D = (-1, 0, 0)$
$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
Нам нужны координаты точек $S(0,0,\sqrt{3})$, $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ для плоскости $SCE$ и точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

3. Найдем уравнение плоскости $SCE$.
Векторы, лежащие в плоскости: $\vec{SC} = C - S = (-\frac{1}{2} - 0, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - \sqrt{3}) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{3})$.
$\vec{SE} = E - S = (-\frac{1}{2} - 0, -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - \sqrt{3}) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{3})$.
Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $SCE$ можно найти как векторное произведение $\vec{SC} \times \vec{SE}$:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\sqrt{3} \end{vmatrix}$
$\vec{n} = \mathbf{i} \left( \frac{\sqrt{3}}{2}(-\sqrt{3}) - (-\frac{\sqrt{3}}{2})(-\sqrt{3}) \right) - \mathbf{j} \left( (-\frac{1}{2})(-\sqrt{3}) - (-\frac{1}{2})(-\sqrt{3}) \right) + \mathbf{k} \left( (-\frac{1}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - (-\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) \right)$
$\vec{n} = \mathbf{i} \left( -\frac{3}{2} - \frac{3}{2} \right) - \mathbf{j} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \mathbf{k} \left( \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right)$
$\vec{n} = (-3, 0, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
Для удобства умножим нормальный вектор на 2: $\vec{n'} = (-6, 0, \sqrt{3})$.
Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$.
Используем $A=-6$, $B=0$, $C=\sqrt{3}$: $-6x + 0y + \sqrt{3}z + D = 0 \Rightarrow -6x + \sqrt{3}z + D = 0$.
Подставим координаты точки $S(0,0,\sqrt{3})$ в уравнение плоскости, чтобы найти $D$:
$-6(0) + \sqrt{3}(\sqrt{3}) + D = 0$
$3 + D = 0 \Rightarrow D = -3$.
Уравнение плоскости $SCE$: $-6x + \sqrt{3}z - 3 = 0$. Или, умножив на $-1$: $6x - \sqrt{3}z + 3 = 0$.

4. Найдем расстояние от точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ до плоскости $6x - \sqrt{3}z + 3 = 0$.
Формула расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
$d = \frac{|6(\frac{1}{2}) - \sqrt{3}(0) + 3|}{\sqrt{6^2 + 0^2 + (-\sqrt{3})^2}}$
$d = \frac{|3 - 0 + 3|}{\sqrt{36 + 0 + 3}}$
$d = \frac{|6|}{\sqrt{39}}$
$d = \frac{6}{\sqrt{39}}$
Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{39}$:
$d = \frac{6\sqrt{39}}{39} = \frac{2\sqrt{39}}{13}$.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SCE$ равно $\frac{2\sqrt{39}}{13}$.

22. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны $1$, а боковые ребра равны $2$, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $SAC$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Длина стороны основания $a = 1$.

Длина бокового ребра $l = 2$.

Перевод в СИ:

Все величины заданы в безразмерных единицах, перевод в СИ не требуется.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SAC$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Поместим центр основания $O$ в начало координат $(0,0,0)$. Ось $Oz$ направим вдоль высоты пирамиды $SO$. Основание пирамиды лежит в плоскости $Oxy$.

Для правильного шестиугольника со стороной $a=1$, радиус описанной окружности равен $a=1$. Вершины основания можно расположить следующим образом:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Далее, найдем высоту пирамиды $H$. Высота пирамиды $SO$ (обозначим $H$) перпендикулярна плоскости основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. $OA$ — радиус описанной окружности основания, $OA = a = 1$. $SA$ — боковое ребро, $SA = l = 2$. По теореме Пифагора:

$SO^2 + OA^2 = SA^2$

$H^2 + 1^2 = 2^2$

$H^2 + 1 = 4$

$H^2 = 3$

$H = \sqrt{3}$

Таким образом, координаты вершины $S$ равны $(0, 0, \sqrt{3})$.

Теперь найдем уравнение плоскости $SAC$. Плоскость $SAC$ проходит через точки $S(0,0,\sqrt{3})$, $A(1,0,0)$, $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

$\vec{AS} = S - A = (0-1, 0-0, \sqrt{3}-0) = (-1, 0, \sqrt{3})$

$\vec{AC} = C - A = (-\frac{1}{2}-1, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0-0) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $SAC$ находится как векторное произведение $\vec{AS} \times \vec{AC}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & \sqrt{3} \\ -3/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 - \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(0 - \sqrt{3} \cdot (-\frac{3}{2})) + \mathbf{k}(-1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0)$

$\vec{n} = (-\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Для удобства можем использовать пропорциональный вектор нормали, например, умножив его на $-2$: $\vec{n'} = (3, 3\sqrt{3}, \sqrt{3})$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используя координаты $\vec{n'} = (3, 3\sqrt{3}, \sqrt{3})$, получаем:

$3x + 3\sqrt{3}y + \sqrt{3}z + D = 0$

Подставим координаты точки $A(1,0,0)$ (или $S$, или $C$) в уравнение для нахождения $D$:

$3(1) + 3\sqrt{3}(0) + \sqrt{3}(0) + D = 0$

$3 + D = 0 \Rightarrow D = -3$

Таким образом, уравнение плоскости $SAC$ есть $3x + 3\sqrt{3}y + \sqrt{3}z - 3 = 0$.

Наконец, найдем расстояние от точки $B$ до плоскости $SAC$. Координаты точки $B$ равны $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Подставляем значения: $(x_0, y_0, z_0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, и $(A, B, C, D) = (3, 3\sqrt{3}, \sqrt{3}, -3)$:

$d = \frac{|3(\frac{1}{2}) + 3\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sqrt{3}(0) - 3|}{\sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2}}$

$d = \frac{|\frac{3}{2} + \frac{9}{2} + 0 - 3|}{\sqrt{9 + 27 + 3}}$

$d = \frac{|\frac{12}{2} - 3|}{\sqrt{39}}$

$d = \frac{|6 - 3|}{\sqrt{39}}$

$d = \frac{3}{\sqrt{39}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{39}$:

$d = \frac{3\sqrt{39}}{\sqrt{39} \cdot \sqrt{39}} = \frac{3\sqrt{39}}{39} = \frac{\sqrt{39}}{13}$

Ответ: $\frac{\sqrt{39}}{13}$.

23. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны $1$, а боковые ребра равны $2$, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $SDF$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Сторона основания $a = AB = BC = CD = DE = EF = FA = 1$.

Боковое ребро $l = SA = SB = SC = SD = SE = SF = 2$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SDF$, т.е. $d(B, SDF)$.

Решение:

1. Найдем высоту пирамиды $SO$.

В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. Пусть $O$ - центр основания. Тогда $OA = OB = OD = OF = a = 1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$, где $SO$ - высота, $OA$ - радиус описанной окружности основания, $SA$ - боковое ребро.

$SO^2 + OA^2 = SA^2$

$SO^2 + 1^2 = 2^2$

$SO^2 + 1 = 4$

$SO^2 = 3$

$SO = \sqrt{3}$

2. Используем метод объема для нахождения расстояния.

Расстояние от точки до плоскости можно найти по формуле $h = \frac{3V}{A}$, где $V$ - объем тетраэдра, образованного точкой и плоскостью, $A$ - площадь треугольника, лежащего в этой плоскости.

Рассмотрим тетраэдр $SBFD$. Расстояние от точки $B$ до плоскости $SDF$ равно $d(B, SDF) = \frac{3 \cdot V_{SBFD}}{Area(SDF)}$.

3. Вычислим объем тетраэдра $SBFD$.

Объем тетраэдра $V_{SBFD}$ можно также найти как $\frac{1}{3} \cdot Area(BDF) \cdot SO$, так как $SO$ является высотой пирамиды, а значит, и высотой тетраэдра $SBFD$ к его основанию $BDF$, лежащему в плоскости основания пирамиды.

Найдем стороны треугольника $BDF$:

• $BF$: это диагональ шестиугольника, соединяющая вершины через одну. В правильном шестиугольнике эта диагональ равна $a\sqrt{3}$. Так как $a=1$, то $BF = 1\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
• $DF$: это также диагональ шестиугольника, соединяющая вершины через одну. $DF = a\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
• $BD$: также диагональ шестиугольника, соединяющая вершины через одну. $BD = a\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Таким образом, треугольник $BDF$ является равносторонним треугольником со стороной $\sqrt{3}$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле $Area = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$.

$Area(BDF) = \frac{(\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Теперь вычислим объем тетраэдра $SBFD$:

$V_{SBFD} = \frac{1}{3} \cdot Area(BDF) \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{4} \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = \frac{1}{4} \cdot 3 = \frac{3}{4}$.

4. Вычислим площадь треугольника $SDF$.

Стороны треугольника $SDF$:

• $SD = 2$ (боковое ребро)
• $SF = 2$ (боковое ребро)
• $DF = \sqrt{3}$ (диагональ основания, вычислена ранее)

Треугольник $SDF$ является равнобедренным. Найдем его высоту $SM$, опущенную из вершины $S$ на основание $DF$. $M$ - середина $DF$.

$DM = MF = \frac{DF}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $SMF$ (или $SMD$):

$SM^2 + MF^2 = SF^2$

$SM^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 2^2$

$SM^2 + \frac{3}{4} = 4$

$SM^2 = 4 - \frac{3}{4} = \frac{16-3}{4} = \frac{13}{4}$

$SM = \frac{\sqrt{13}}{2}$.

Площадь треугольника $SDF$:

$Area(SDF) = \frac{1}{2} \cdot DF \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{13}}{2} = \frac{\sqrt{39}}{4}$.

5. Вычислим расстояние от точки $B$ до плоскости $SDF$.

$d(B, SDF) = \frac{3 \cdot V_{SBFD}}{Area(SDF)} = \frac{3 \cdot \frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{39}}{4}} = \frac{\frac{9}{4}}{\frac{\sqrt{39}}{4}} = \frac{9}{\sqrt{39}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$d(B, SDF) = \frac{9}{\sqrt{39}} \cdot \frac{\sqrt{39}}{\sqrt{39}} = \frac{9\sqrt{39}}{39}$.

Сократим дробь на 3:

$d(B, SDF) = \frac{3\sqrt{39}}{13}$.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SDF$ равно $\frac{3\sqrt{39}}{13}$.

24. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $DEA_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Перевод в СИ:

Сторона основания $a = 1$.

Высота призмы $h = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $DEA_1$.

Решение:

Введем прямоугольную систему координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Расположим вершину $A$ на оси $Ox$.

Координаты вершин нижнего основания (сторона $a=1$):

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$
• $E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Поскольку высота призмы $h=1$, координаты вершин верхнего основания будут иметь $z$-координату 1.

Координаты точки $A_1$: $A_1 = (1, 0, 1)$.

Нам даны точка $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и плоскость, проходящая через точки $D(-1, 0, 0)$, $E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ и $A_1(1, 0, 1)$.

Найдем уравнение плоскости $DEA_1$. Для этого определим два вектора, лежащих в этой плоскости:

Вектор $\vec{DE}$: $E - D = (-1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Вектор $\vec{DA_1}$: $A_1 - D = (1 - (-1), 0 - 0, 1 - 0) = (2, 0, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $DEA_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{DE}$ и $\vec{DA_1}$:

$\vec{n} = \vec{DE} \times \vec{DA_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

Вычислим компоненты нормального вектора:

$n_x = (-\sqrt{3}/2) \cdot 1 - 0 \cdot 0 = -\sqrt{3}/2$

$n_y = 0 \cdot 2 - (1/2) \cdot 1 = -1/2$

$n_z = (1/2) \cdot 0 - (-\sqrt{3}/2) \cdot 2 = \sqrt{3}$

Таким образом, $\vec{n} = (-\sqrt{3}/2, -1/2, \sqrt{3})$. Для удобства вычислений умножим этот вектор на $-2$, получим нормальный вектор $\vec{n}' = (\sqrt{3}, 1, -2\sqrt{3})$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D_{pl} = 0$. Используя $\vec{n}'$, получаем:

$\sqrt{3}x + 1y - 2\sqrt{3}z + D_{pl} = 0$

Для нахождения $D_{pl}$ подставим координаты точки $D(-1, 0, 0)$ в уравнение плоскости:

$\sqrt{3}(-1) + 1(0) - 2\sqrt{3}(0) + D_{pl} = 0$

$-\sqrt{3} + D_{pl} = 0 \implies D_{pl} = \sqrt{3}$

Таким образом, уравнение плоскости $DEA_1$ имеет вид:

$\sqrt{3}x + y - 2\sqrt{3}z + \sqrt{3} = 0$

Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D_{pl} = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D_{pl}|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае, точка $B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, и уравнение плоскости $\sqrt{3}x + y - 2\sqrt{3}z + \sqrt{3} = 0$.

Здесь $A = \sqrt{3}$, $B = 1$, $C = -2\sqrt{3}$, $D_{pl} = \sqrt{3}$.

Подставим значения в формулу расстояния:

$d = \frac{|\sqrt{3}(1/2) + 1(\sqrt{3}/2) - 2\sqrt{3}(0) + \sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2 + (-2\sqrt{3})^2}}$

$d = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 + \sqrt{3}|}{\sqrt{3 + 1 + 4 \cdot 3}}$

$d = \frac{|\sqrt{3} + \sqrt{3}|}{\sqrt{3 + 1 + 12}}$

$d = \frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{16}}$

$d = \frac{2\sqrt{3}}{4}$

$d = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ:

Расстояние от точки B до плоскости DEA₁ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

25. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до плоскости $EFB_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $EFB_1$.

Решение

1. Зададим систему координат.

Расположим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $O(0,0,0)$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $OO_1$ (где $O_1$ - центр верхнего основания). Ось $Ox$ направим вдоль радиуса $OA$ (соединяющего центр с вершиной $A$).

Так как призма правильная и все ребра равны 1, то длина стороны основания шестиугольника $a=1$, а высота призмы $h=1$.

Координаты вершин нижнего основания:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (-1, 0, 0)$

$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты вершины верхнего основания $B_1$ (находится над $B$ на высоте 1):

$B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

2. Определим координаты точки и плоскости.

Точка, от которой ищется расстояние, это $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Плоскость $EFB_1$ задана точками:

$E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$F(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$B_1(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

3. Найдем уравнение плоскости $EFB_1$.

Для этого найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, исходящие из одной точки, например, из $F$:

Вектор $\vec{FE} = E - F = (-1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - (-\sqrt{3}/2), 0 - 0) = (-1, 0, 0)$.

Вектор $\vec{FB_1} = B_1 - F = (1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 0) = (0, \sqrt{3}, 1)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости равен векторному произведению этих двух векторов:

$\vec{n} = \vec{FE} \times \vec{FB_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot \sqrt{3}) - \mathbf{j}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(-1 \cdot \sqrt{3} - 0 \cdot 0) = 0\mathbf{i} + 1\mathbf{j} - \sqrt{3}\mathbf{k}$

Следовательно, вектор нормали $\vec{n} = (0, 1, -\sqrt{3})$.

Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим компоненты вектора нормали:

$0x + 1y - \sqrt{3}z + D = 0 \Rightarrow y - \sqrt{3}z + D = 0$

Для нахождения свободного члена $D$ подставим координаты одной из точек плоскости, например, $F(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$:

$-\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}(0) + D = 0$

$D = \sqrt{3}/2$

Таким образом, уравнение плоскости $EFB_1$ есть $y - \sqrt{3}z + \sqrt{3}/2 = 0$.

4. Вычислим расстояние от точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до плоскости $y - \sqrt{3}z + \sqrt{3}/2 = 0$.

Расстояние $d$ от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае $(x_0, y_0, z_0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и уравнение плоскости $0x + 1y - \sqrt{3}z + \sqrt{3}/2 = 0$.

$d = \frac{|0 \cdot (1/2) + 1 \cdot (\sqrt{3}/2) - \sqrt{3} \cdot 0 + \sqrt{3}/2|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + (-\sqrt{3})^2}}$

$d = \frac{|\sqrt{3}/2 + \sqrt{3}/2|}{\sqrt{1 + 3}}$

$d = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{4}}$

$d = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

26. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $CFA_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $CFA_1$.

Решение

Разместим призму в декартовой системе координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $(0,0,0)$.

Так как призма правильная шестиугольная, и все ее ребра равны 1, то сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Координаты вершин нижнего основания (при $a=1$):
$A = (1, 0, 0)$
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$D = (-1, 0, 0)$
$E = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$F = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Координаты вершины верхнего основания $A_1$ (так как высота $h=1$):
$A_1 = (1, 0, 1)$.

Нам нужно найти расстояние от точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ до плоскости, проходящей через точки $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $A_1(1, 0, 1)$.

Для определения уравнения плоскости $CFA_1$ найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{A_1C}$ и $\vec{A_1F}$.

$\vec{A_1C} = C - A_1 = (-\frac{1}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 1) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -1)$

$\vec{A_1F} = F - A_1 = (\frac{1}{2} - 1, -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 1) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -1)$

Вектор нормали к плоскости $\vec{n}$ можно найти как векторное произведение $\vec{A_1C} \times \vec{A_1F}$:

$ \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{3}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & -1 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -1 \end{vmatrix} $

$ \vec{n} = \mathbf{i} ((\frac{\sqrt{3}}{2})(-1) - (-1)(-\frac{\sqrt{3}}{2})) - \mathbf{j} ((-\frac{3}{2})(-1) - (-1)(-\frac{1}{2})) + \mathbf{k} ((-\frac{3}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{1}{2})) $

$ \vec{n} = \mathbf{i} (-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j} (\frac{3}{2} - \frac{1}{2}) + \mathbf{k} (\frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}) $

$ \vec{n} = -\sqrt{3}\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + \sqrt{3}\mathbf{k} = (-\sqrt{3}, -1, \sqrt{3}) $

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим компоненты вектора нормали:

$ -\sqrt{3}x - y + \sqrt{3}z + D = 0 $

Используем точку $A_1(1,0,1)$, которая лежит в плоскости, чтобы найти $D$:

$ -\sqrt{3}(1) - (0) + \sqrt{3}(1) + D = 0 $

$ -\sqrt{3} + \sqrt{3} + D = 0 \implies D = 0 $

Таким образом, уравнение плоскости $CFA_1$ есть $ -\sqrt{3}x - y + \sqrt{3}z = 0 $, или умножив на -1, $ \sqrt{3}x + y - \sqrt{3}z = 0 $.

Расстояние от точки $P(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:

$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} $

В нашем случае, точка $B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, а плоскость $ \sqrt{3}x + y - \sqrt{3}z = 0 $. Здесь $A=\sqrt{3}$, $B=1$, $C=-\sqrt{3}$, $D=0$.

$ d = \frac{|\sqrt{3}(\frac{1}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2}) - \sqrt{3}(0) + 0|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (1)^2 + (-\sqrt{3})^2}} $

$ d = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{3 + 1 + 3}} $

$ d = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{7}} $

$ d = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7} $

Ответ: $\frac{\sqrt{21}}{7}$

27. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $ADC_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все ребра равны 1. То есть, длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Найти

Расстояние от точки $B$ до плоскости $ADC_1$.

Решение

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Выберем систему координат следующим образом:
Поместим центр нижнего основания $O$ в начало координат $(0,0,0)$. Ось $Ox$ направим вдоль радиуса $OA$. Ось $Oz$ направим вдоль ребра $OO_1$ (высоты призмы).

Тогда координаты необходимых вершин будут:
$A = (1, 0, 0)$
$B = (1 \cdot \cos 60^\circ, 1 \cdot \sin 60^\circ, 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$D = (1 \cdot \cos 180^\circ, 1 \cdot \sin 180^\circ, 0) = (-1, 0, 0)$
$C_1 = (1 \cdot \cos 120^\circ, 1 \cdot \sin 120^\circ, 1) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$ (так как высота призмы $AA_1 = 1$)

Теперь найдем уравнение плоскости $ADC_1$. Для этого нам нужны два вектора, лежащие в плоскости, и одна точка. Возьмем точки $A(1,0,0)$, $D(-1,0,0)$ и $C_1(-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.
Векторы, лежащие в плоскости:
$\vec{AD} = D - A = (-1-1, 0-0, 0-0) = (-2, 0, 0)$
$\vec{AC_1} = C_1 - A = (-1/2-1, \sqrt{3}/2-0, 1-0) = (-3/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости как векторное произведение $\vec{AD} \times \vec{AC_1}$:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 0 & 0 \\ -3/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot \sqrt{3}/2) - \mathbf{j}(-2 \cdot 1 - 0 \cdot (-3/2)) + \mathbf{k}(-2 \cdot \sqrt{3}/2 - 0 \cdot (-3/2))$
$\vec{n} = 0\mathbf{i} - \mathbf{j}(-2) + \mathbf{k}(-\sqrt{3}) = (0, 2, -\sqrt{3})$

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используя координаты вектора нормали $\vec{n}=(0, 2, -\sqrt{3})$, получаем:
$0x + 2y - \sqrt{3}z + D = 0 \Rightarrow 2y - \sqrt{3}z + D = 0$
Подставим координаты точки $A(1,0,0)$ в уравнение для нахождения $D$:
$2(0) - \sqrt{3}(0) + D = 0 \Rightarrow D = 0$
Таким образом, уравнение плоскости $ADC_1$ имеет вид $2y - \sqrt{3}z = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до плоскости $2y - \sqrt{3}z = 0$.
Используем формулу расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
В нашем случае, $A=0, B=2, C=-\sqrt{3}, D=0$ и $(x_0, y_0, z_0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
$d = \frac{|0(1/2) + 2(\sqrt{3}/2) - \sqrt{3}(0) + 0|}{\sqrt{0^2 + 2^2 + (-\sqrt{3})^2}}$
$d = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{4 + 3}}$
$d = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$
Рационализируем знаменатель:
$d = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Ответ:
$\frac{\sqrt{21}}{7}$

28. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $DEF_1$.

Дано:
Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длина всех ребер призмы равна 1.

Перевод данных в систему СИ:
Длина стороны основания $a = 1$ (единица длины).
Высота призмы $h = 1$ (единица длины).

Найти:
Расстояние от точки B до плоскости $DEF_1$.

Решение:
Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$. Ось $x$ направим вдоль радиуса, проходящего через вершину A, ось $y$ перпендикулярно оси $x$ в плоскости основания, ось $z$ вдоль высоты призмы.

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$ и центром в начале координат:
$A = (1, 0, 0)$
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$
$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
$F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Поскольку высота призмы $h=1$, координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут иметь те же $x$ и $y$ координаты, но $z=1$.
Таким образом, координаты точек, определяющих плоскость $DEF_1$:
$D = (-1, 0, 0)$
$E = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
$F_1 = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Найдем уравнение плоскости $DEF_1$. Для этого найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{DE}$ и $\vec{DF_1}$.
$\vec{DE} = E - D = (-1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
$\vec{DF_1} = F_1 - D = (1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (3/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $DEF_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{DE} \times \vec{DF_1}$:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ 3/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$
$A = (-\sqrt{3}/2) \cdot 1 - 0 \cdot (-\sqrt{3}/2) = -\sqrt{3}/2$
$B = 0 \cdot (3/2) - (1/2) \cdot 1 = -1/2$
$C = (1/2) \cdot (-\sqrt{3}/2) - (-\sqrt{3}/2) \cdot (3/2) = -\sqrt{3}/4 + 3\sqrt{3}/4 = 2\sqrt{3}/4 = \sqrt{3}/2$
Таким образом, вектор нормали $\vec{n} = (-\sqrt{3}/2, -1/2, \sqrt{3}/2)$. Для упрощения вычислений можно умножить все компоненты вектора нормали на -2, получив $\vec{n'} = (\sqrt{3}, 1, -\sqrt{3})$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D_0 = 0$. Используя $\vec{n'} = (\sqrt{3}, 1, -\sqrt{3})$, получим:
$\sqrt{3}x + y - \sqrt{3}z + D_0 = 0$
Подставим координаты точки $D(-1, 0, 0)$ в это уравнение для нахождения $D_0$:
$\sqrt{3}(-1) + 0 - \sqrt{3}(0) + D_0 = 0$
$-\sqrt{3} + D_0 = 0 \Rightarrow D_0 = \sqrt{3}$

Уравнение плоскости $DEF_1$ имеет вид: $\sqrt{3}x + y - \sqrt{3}z + \sqrt{3} = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до плоскости $DEF_1$ по формуле:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D_0|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
Здесь $(x_0, y_0, z_0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, а $(A, B, C) = (\sqrt{3}, 1, -\sqrt{3})$ и $D_0 = \sqrt{3}$.

Числитель:
$|\sqrt{3}(1/2) + 1(\sqrt{3}/2) - \sqrt{3}(0) + \sqrt{3}|$ = $|\sqrt{3}/2 + \sqrt{3}/2 + 0 + \sqrt{3}|$ = $|\sqrt{3} + \sqrt{3}|$ = $|2\sqrt{3}|$

Знаменатель:
$\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 1 + 3} = \sqrt{7}$

Расстояние $d = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:
$d = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{21}}{7}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{21}}{7}$

29. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $EFA_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все ребра равны $1$.

Перевод в СИ: Длина стороны основания призмы $a = 1$ м.
Высота призмы $h = 1$ м.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $EFA_1$.

Решение

Введем прямоугольную систему координат. Пусть центр нижнего основания $O$ совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Ось $Ox$ направим вдоль радиуса, проходящего через вершину $A$. Ось $Oy$ перпендикулярно $Ox$ в плоскости основания. Ось $Oz$ направим по высоте призмы.

Длина стороны правильного шестиугольника $a=1$. Координаты вершин нижнего основания:

$A = (1, 0, 0)$
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$
$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Высота призмы $h=1$. Координаты вершин верхнего основания получаются из нижних добавлением $1$ к $z$-координате:

$A_1 = (1, 0, 1)$

Нам нужны координаты точки $B$ и трех точек, определяющих плоскость $EFA_1$:

$B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$E = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$F = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$A_1 = (1, 0, 1)$

Найдем уравнение плоскости $EFA_1$. Для этого найдем два вектора, лежащие в этой плоскости, и их векторное произведение, которое даст нормальный вектор плоскости.

Вектор $\vec{EF}$: $F - E = (\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), -\frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 0 - 0) = (1, 0, 0)$
Вектор $\vec{EA_1}$: $A_1 - E = (1 - (-\frac{1}{2}), 0 - (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 1 - 0) = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ плоскости $EFA_1$ равен векторному произведению $\vec{EF}$ и $\vec{EA_1}$:

$\vec{n} = \vec{EF} \times \vec{EA_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 3/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$
$\vec{n} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot \frac{3}{2}) + \mathbf{k}(1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \cdot \frac{3}{2})$
$\vec{n} = 0\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{k} = (0, -1, \frac{\sqrt{3}}{2})$

Для удобства можно взять нормальный вектор, умноженный на $-2$, чтобы избавиться от дробей и сделать коэффициенты целыми: $\vec{n}' = (0, 2, -\sqrt{3})$.

Уравнение плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$. Используем точку $E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и нормальный вектор $\vec{n}' = (0, 2, -\sqrt{3})$:

$0(x - (-\frac{1}{2})) + 2(y - (-\frac{\sqrt{3}}{2})) - \sqrt{3}(z - 0) = 0$
$0 + 2y + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}z = 0$
$2y + \sqrt{3} - \sqrt{3}z = 0$

Таким образом, уравнение плоскости $EFA_1$ имеет вид $0x + 2y - \sqrt{3}z + \sqrt{3} = 0$.

Расстояние от точки $B(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Для точки $B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и плоскости $0x + 2y - \sqrt{3}z + \sqrt{3} = 0$:

$d = \frac{|0 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \cdot 0 + \sqrt{3}|}{\sqrt{0^2 + 2^2 + (-\sqrt{3})^2}}$
$d = \frac{|0 + \sqrt{3} - 0 + \sqrt{3}|}{\sqrt{0 + 4 + 3}}$
$d = \frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{7}}$
$d = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:

$d = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{21}}{7}$

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $EFA_1$ равно $\frac{2\sqrt{21}}{7}$.

30. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $ACB_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длина всех ребер призмы равна 1.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACB_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния от точки до плоскости можно использовать формулу объема тетраэдра $V = \frac{1}{3} S_{основания} \cdot h$, где $h$ - искомое расстояние. В данном случае, искомое расстояние - это высота тетраэдра $B ACB_1$, опущенная из вершины $B$ на плоскость $ACB_1$. Таким образом, расстояние $d = \frac{3V_{B ACB_1}}{S_{ACB_1}}$.

1. Найдем объем тетраэдра $B ACB_1$. Этот тетраэдр также можно рассматривать как тетраэдр $B_1 ABC$. За основание возьмем треугольник $ABC$, а высотой будет ребро $BB_1$.

Так как призма правильная, в основании лежит правильный шестиугольник со стороной 1.Угол $\angle ABC$ в правильном шестиугольнике равен $120^\circ$.

Площадь треугольника $ABC$ находится по формуле:$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)$
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin(120^\circ)$
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Высота призмы $BB_1$ равна длине ребра, то есть $BB_1 = 1$.

Объем тетраэдра $B_1 ABC$ (или $B ACB_1$):
$V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot BB_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{12}$.

2. Найдем площадь треугольника $ACB_1$.

Длины сторон треугольника $ACB_1$:

Сторона $AC$: В треугольнике $ABC$ по теореме косинусов:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$
$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$
$AC^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$
$AC = \sqrt{3}$.

Сторона $AB_1$: Так как призма прямая, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания. Значит, $\triangle ABB_1$ - прямоугольный с прямым углом при вершине $B$.
По теореме Пифагора:
$AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$
$AB_1 = \sqrt{2}$.

Сторона $CB_1$: Аналогично, $\triangle CBB_1$ - прямоугольный с прямым углом при вершине $B$.
$CB_1^2 = CB^2 + BB_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$
$CB_1 = \sqrt{2}$.

Таким образом, треугольник $ACB_1$ является равнобедренным с длинами сторон $AC = \sqrt{3}$, $AB_1 = \sqrt{2}$, $CB_1 = \sqrt{2}$.

Найдем высоту $h_{B_1}$ треугольника $ACB_1$, опущенную из вершины $B_1$ на основание $AC$. Пусть $M$ - середина $AC$. Тогда $B_1M$ - высота.$AM = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.В прямоугольном треугольнике $AMB_1$:
$h_{B_1}^2 = AB_1^2 - AM^2 = (\sqrt{2})^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 2 - \frac{3}{4} = \frac{8-3}{4} = \frac{5}{4}$
$h_{B_1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Площадь треугольника $ACB_1$:
$S_{ACB_1} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_{B_1} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

3. Вычислим искомое расстояние $d$ от точки $B$ до плоскости $ACB_1$.
$d = \frac{3V}{S_{ACB_1}} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{12}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}}$
$d = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{3}{15}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$
Рационализируем знаменатель:
$d = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{5}}{5}$