Страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $DEE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех рёбер $a = 1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (условная единица длины).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $DEE_1$, обозначим как $d(B, DEE_1)$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат.

1. Установка системы координат:

Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $O(0, 0, 0)$. Поскольку призма правильная, её боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Длина всех рёбер равна 1, следовательно, длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. Расстояние от центра до любой вершины равно длине стороны. Расположим вершину $D$ на положительной оси $Ox$.

Координаты вершин: точка $B(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, точка $D(1, 0, 0)$, точка $E(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, точка $E_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ (так как высота $h=1$).

2. Нахождение уравнения плоскости $DEE_1$:

Для нахождения уравнения плоскости $Ax + By + Cz + D_p = 0$, найдем два вектора, лежащих в этой плоскости. Это векторы $\vec{DE}$ и $\vec{DE_1}$.

Вектор $\vec{DE} = E - D = (\frac{1}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Вектор $\vec{DE_1} = E_1 - D = (\frac{1}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Вектор нормали $\vec{n} = (A, B, C)$ к плоскости можно найти как векторное произведение $\vec{DE} \times \vec{DE_1}$.

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(-\frac{1}{2} \cdot 1 - 0 \cdot (-\frac{1}{2})) + \mathbf{k}(-\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{1}{2}))$

$\vec{n} = \mathbf{i}(\frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(-\frac{1}{2}) + \mathbf{k}(-\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0)$.

Уравнение плоскости имеет вид $\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y + 0z + D_p = 0$.

Для нахождения $D_p$ подставим координаты одной из точек плоскости, например, $D(1, 0, 0)$: $\frac{\sqrt{3}}{2}(1) + \frac{1}{2}(0) + 0 + D_p = 0 \Rightarrow D_p = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, уравнение плоскости $DEE_1$ есть $\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$. Для упрощения, умножим уравнение на 2: $\sqrt{3}x + y - \sqrt{3} = 0$.

3. Расстояние от точки до плоскости:

Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D_p = 0$ вычисляется по формуле: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D_p|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

Здесь точка $B = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. Параметры плоскости: $A = \sqrt{3}$, $B = 1$, $C = 0$, $D_p = -\sqrt{3}$.

$d(B, DEE_1) = \frac{|\sqrt{3}(-\frac{1}{2}) + 1(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 0(0) - \sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2 + 0^2}}$

$d(B, DEE_1) = \frac{|-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}|}{\sqrt{3 + 1}}$

$d(B, DEE_1) = \frac{|-\sqrt{3} - \sqrt{3}|}{\sqrt{4}}$

$d(B, DEE_1) = \frac{|-2\sqrt{3}|}{2}$

$d(B, DEE_1) = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

Геометрическая интерпретация подтверждает этот результат: поскольку призма является прямой, плоскость $DEE_1D_1$ (которая является боковой гранью) перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$. Следовательно, расстояние от точки $B$ до плоскости $DEE_1D_1$ равно расстоянию от точки $B$ до линии пересечения этих плоскостей, то есть до прямой $DE$ в плоскости основания. Расстояние между параллельными сторонами $BC$ и $DE$ в правильном шестиугольнике со стороной $a=1$ равно $a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$. Поскольку точка $B$ лежит на прямой $BC$, расстояние от $B$ до $DE$ равно $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

10.В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $EFF_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все ребра равны 1.

Перевод в СИ:
Длина ребра основания $a = 1$.
Высота призмы $h = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $EFF_1$.

Решение:

1. Плоскость $EFF_1$ представляет собой плоскость боковой грани $EFF_1E_1$.

2. В правильной шестиугольной призме боковые грани перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, плоскость $EFF_1E_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$.

3. Если плоскость перпендикулярна другой плоскости, и точка лежит в одной из этих плоскостей (в нашем случае, точка $B$ лежит в плоскости основания $ABCDEF$), то расстояние от этой точки до перпендикулярной плоскости равно расстоянию от точки до линии их пересечения. Линией пересечения плоскостей $ABCDEF$ и $EFF_1E_1$ является прямая $EF$.

4. Таким образом, нам необходимо найти расстояние от точки $B$ до прямой $EF$ в плоскости основания $ABCDEF$.

5. Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a = 1$. В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны. В частности, сторона $BC$ параллельна стороне $EF$.

6. Поскольку точка $B$ лежит на прямой $BC$, а прямая $BC$ параллельна прямой $EF$, то расстояние от точки $B$ до прямой $EF$ равно расстоянию между параллельными прямыми $BC$ и $EF$.

7. Расстояние между противоположными параллельными сторонами правильного шестиугольника равно удвоенной длине апофемы (радиуса вписанной окружности) этого шестиугольника.

8. Апофема $r$ правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $r = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

9. Подставляем значение $a = 1$: $r = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

10. Расстояние между параллельными прямыми $BC$ и $EF$ равно $2r = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

11. Следовательно, расстояние от точки $B$ до плоскости $EFF_1$ равно $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

11. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $CDD_1$.

Дано: Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Длина всех ребер $a = 1$.

Найти: Расстояние от точки B до плоскости $CDD_1$.

Решение: Плоскость $CDD_1$ представляет собой грань $CDD_1C_1$ призмы. Так как призма является правильной, ее боковые грани перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, плоскость $CDD_1C_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$. Расстояние от точки B до плоскости $CDD_1C_1$ равно расстоянию от точки B до прямой $CD$, лежащей в плоскости основания.

Рассмотрим основание призмы - правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$. Нам необходимо найти расстояние от вершины B до стороны CD.

Угол правильного шестиугольника вычисляется по формуле $\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$, где $n$ - количество сторон. Для шестиугольника $n=6$, следовательно, угол равен $\frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = 120^\circ$. Значит, $\angle BCD = 120^\circ$.

Рассмотрим треугольник BCD. Это равнобедренный треугольник, так как $BC = CD = 1$ (длины ребер). Опустим перпендикуляр из точки B на прямую, содержащую отрезок CD. Пусть H - основание этого перпендикуляра. Так как $\angle BCD = 120^\circ$ (тупой угол), основание перпендикуляра H будет лежать на продолжении отрезка CD за точку D.

В прямоугольном треугольнике BCH угол $\angle BCH$ является смежным с углом $\angle BCD$. Следовательно, $\angle BCH = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Расстояние от точки B до прямой CD равно длине отрезка BH. В прямоугольном треугольнике BCH гипотенуза $BC = 1$. Используем тригонометрическое соотношение: $BH = BC \cdot \sin(\angle BCH)$ $BH = 1 \cdot \sin(60^\circ)$ $BH = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: Расстояние от точки B до плоскости $CDD_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

12. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $AFF_1$.

13. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все реб-

Дано:

Призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - правильная шестиугольная призма.

Длина всех ребер $a = 1$.

Перевод в СИ:

Поскольку в задаче не указаны единицы измерения, все ребра $a = 1$ (условная единица длины).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $AFF_1$.

Решение:

Плоскость $AFF_1$ определена тремя точками $A$, $F$, $F_1$. Так как $AA_1$ и $FF_1$ являются боковыми ребрами правильной призмы, они параллельны ($AA_1 \parallel FF_1$). Следовательно, точки $A$, $A_1$, $F_1$, $F$ лежат в одной плоскости, и плоскость $AFF_1$ совпадает с плоскостью боковой грани $AA_1F_1F$.

Поскольку призма является правильной, ее боковые грани перпендикулярны плоскостям оснований. То есть, плоскость $AA_1F_1F$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$.

Расстояние от точки до плоскости, перпендикулярной другой плоскости, содержащей эту точку, равно расстоянию от этой точки до линии пересечения двух плоскостей. Точка $B$ лежит в плоскости основания $ABCDEF$. Линия пересечения плоскостей $ABCDEF$ и $AA_1F_1F$ - это прямая, содержащая ребро $AF$.

Таким образом, расстояние от точки $B$ до плоскости $AFF_1$ равно расстоянию от точки $B$ до прямой $AF$ в плоскости основания $ABCDEF$.

Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной, равной 1.

В правильном шестиугольнике все стороны равны, поэтому $AB = 1$ и $AF = 1$.

Внутренний угол правильного шестиугольника равен $\frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = 120^\circ$. Следовательно, $\angle FAB = 120^\circ$.

Нам нужно найти расстояние от точки $B$ до прямой $AF$. Опустим перпендикуляр $BM$ из точки $B$ на прямую $AF$. $BM$ - это искомое расстояние.

Так как $\angle FAB = 120^\circ$, точка $M$ будет лежать на продолжении отрезка $AF$ за точку $A$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$. Угол $\angle BAM$ является смежным углу $\angle FAB$.

$\angle BAM = 180^\circ - \angle FAB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $ABM$ гипотенуза $AB = 1$.

Используем определение синуса: $BM = AB \sin(\angle BAM)$.

$BM = 1 \cdot \sin(60^\circ)$.

$BM = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$BM = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

13. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $CFF_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длины всех ребер равны 1.

Перевод в СИ

Для данной геометрической задачи перевод в систему СИ не требуется, так как длины заданы в безразмерных единицах (все ребра равны 1).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $CFF_1$.

Решение

Для нахождения расстояния от точки до плоскости используем геометрические свойства правильной шестиугольной призмы.

Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$.В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно его стороне, т.е. 1.Длины сторон треугольника $BCF$:

• Сторона $BC$ является ребром шестиугольника, поэтому $BC = 1$.
• Сторона $CF$ является большой диагональю шестиугольника (проходит через центр). Ее длина равна $2a$, т.е. $CF = 2 \cdot 1 = 2$.
• Сторона $BF$ является малой диагональю шестиугольника. Ее длина равна $a\sqrt{3}$, т.е. $BF = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Теперь рассмотрим плоскость $CFF_1$. Эта плоскость содержит прямую $CF$ (лежащую в основании) и прямую $FF_1$ (боковое ребро призмы).Так как призма правильная, боковое ребро $FF_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$.Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $CF$ в плоскости основания. Поскольку $ \triangle BCF $ является прямоугольным с прямым углом при $B$, то $BH$ является высотой, проведенной к гипотенузе $CF$.Длина отрезка $BH$ — это расстояние от точки $B$ до прямой $CF$.Поскольку $BH$ лежит в плоскости основания и $FF_1$ перпендикулярно плоскости основания, то $BH \perp FF_1$.Таким образом, $BH$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым $CF$ и $FF_1$, лежащим в плоскости $CFF_1$. Отсюда следует, что прямая $BH$ перпендикулярна плоскости $CFF_1$.Следовательно, длина отрезка $BH$ является искомым расстоянием от точки $B$ до плоскости $CFF_1$.

Найдем длину высоты $BH$ в прямоугольном треугольнике $BCF$. Площадь прямоугольного треугольника может быть найдена как половина произведения его катетов:$S_{BCF} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BF = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.Также площадь треугольника может быть найдена как половина произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней:$S_{BCF} = \frac{1}{2} \cdot CF \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot BH = BH$.Приравнивая два выражения для площади, получаем:$BH = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $CFF_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

14. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до плоскости $ADD_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длины всех ребер равны 1.

Перевод в СИ (для наглядности, в данном случае это безразмерная величина или условная единица измерения):
Длина ребра призмы $a = 1 \text{ м}$.
Высота призмы $h = 1 \text{ м}$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $ADD_1$.

Решение:

Рассмотрим правильную шестиугольную призму. Пусть длина всех ребер равна $a=1$.
Введем декартову систему координат. Поместим центр основания $ABCDEF$ в начало координат $(0,0,0)$.
Ось $x$ направим вдоль радиуса, соединяющего центр с вершиной $A$.
Ось $z$ направим вдоль бокового ребра $OO_1$ (перпендикулярно плоскости основания).
Поскольку это правильный шестиугольник, расстояние от центра до любой вершины равно его стороне, т.е. $OA=OB=OC=OD=OE=OF=a=1$.
Координаты вершин основания $ABCDEF$ (при $z=0$):
Вершина $A$ находится на оси $x$, следовательно, ее координаты $A(1,0,0)$.
Вершина $D$ является противоположной вершине $A$, следовательно, ее координаты $D(-1,0,0)$.
Координаты вершины $B$ можно найти, учитывая, что угол $AOB$ в правильном шестиугольнике равен $60^\circ$.
Координаты точки $B$: $B(a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ), 0)$.
Подставляя $a=1$: $B(1 \cdot \frac{1}{2}, 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, то есть $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
Высота призмы равна $h=1$. Соответствующие вершины верхнего основания будут иметь $z$-координату, увеличенную на 1.
Координаты $A_1(1,0,1)$ и $D_1(-1,0,1)$.

Теперь определим уравнение плоскости $ADD_1$.
Точки $A(1,0,0)$, $D(-1,0,0)$ и $D_1(-1,0,1)$ принадлежат этой плоскости.
Заметим, что для всех этих точек $y$-координата равна 0.
Таким образом, уравнение плоскости $ADD_1$ есть $y=0$.
Это можно представить в общем виде как $0x + 1y + 0z + 0 = 0$.

Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

В нашем случае, точка $B$ имеет координаты $(x_B, y_B, z_B) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
Для плоскости $y=0$, имеем $A=0, B=1, C=0, D=0$.
Подставляем значения в формулу:
$d = \frac{|0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 \cdot 0 + 0|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2}}$
$d = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{1}}$
$d = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $ADD_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

15. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1$.

16. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все реб-

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1.

В системе СИ:

Длина стороны основания $a = 1$ м.

Высота призмы $h = 1$ м.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1$.

Решение:

Плоскость $ACC_1$ содержит ребро $CC_1$, которое перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Следовательно, плоскость $ACC_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$.

Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1$ равно расстоянию от точки $B$ до линии пересечения плоскости $ACC_1$ с плоскостью основания $ABCDEF$. Линией пересечения является отрезок $AC$.

Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния от точки $B$ до отрезка $AC$ в плоскости основания.

Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$.

Угол правильного шестиугольника равен $\frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = 120^\circ$.

Следовательно, $\angle ABC = 120^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Он является равнобедренным, так как $AB = BC = 1$.

Найдем расстояние от точки $B$ до отрезка $AC$. Это будет высота $BH$, опущенная из вершины $B$ на сторону $AC$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ углы при основании $AC$ равны:

$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - \angle ABC}{2} = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (где $H$ - основание перпендикуляра из $B$ на $AC$).

В этом треугольнике:

$BH = AB \cdot \sin(\angle BAC)$

$BH = 1 \cdot \sin(30^\circ)$

$BH = 1 \cdot \frac{1}{2}$

$BH = \frac{1}{2}$.

Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1$ равно $1/2$.

Ответ:

$0.5$

16. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до плоскости $DFF_1$.

17. В правильной шестиугольной

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Длина всех рёбер призмы $a = 1$.

Перевод в СИ

Длина ребра $a = 1$ (безразмерная величина, перевод не требуется).

Найти

Расстояние от точки B до плоскости $DFF_1$, то есть $d(B, (DFF_1))$.

Решение

Для решения задачи введём прямоугольную систему координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $O(0,0,0)$. Так как призма правильная, её основание — правильный шестиугольник. Длина стороны шестиугольника равна $a=1$. Высота призмы также равна $a=1$.

Расположим вершины шестиугольника в плоскости $xy$. Если вершина A лежит на положительной оси $x$, то координаты вершин будут:

• A: $(1, 0, 0)$
• B: $(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• C: $(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• D: $(-1, 0, 0)$
• E: $(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• F: $(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Вершины верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ имеют ту же $x$ и $y$ координаты, но $z$-координата будет равна высоте призмы, то есть 1. Таким образом, координаты точек, определяющих плоскость $DFF_1$, следующие:

• D: $(-1, 0, 0)$
• F: $(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $F_1$: $(1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Плоскость $DFF_1$ является вертикальной, так как содержит вертикальные рёбра $DD_1$ и $FF_1$ (или, точнее, $DD_1 \parallel FF_1$ и $DD_1 \perp$ основанию). Расстояние от точки B до плоскости $DFF_1$ будет равно расстоянию от точки B до линии пересечения этой плоскости с плоскостью основания (плоскостью $xy$). Линией пересечения является прямая DF.

Найдём уравнение прямой DF в плоскости $xy$. Используем точки D$(-1, 0)$ и F$(1/2, -\sqrt{3}/2)$. Вектор $\vec{FD} = D - F = (-1 - 1/2, 0 - (-\sqrt{3}/2)) = (-3/2, \sqrt{3}/2)$. Наклон прямой: $m = \frac{\sqrt{3}/2}{-3/2} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Уравнение прямой в виде $y - y_1 = m(x - x_1)$: $y - 0 = -\frac{\sqrt{3}}{3}(x - (-1))$ $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}(x + 1)$ $3y = -\sqrt{3}x - \sqrt{3}$ $\sqrt{3}x + 3y + \sqrt{3} = 0$. Это и есть уравнение плоскости $DFF_1$ (так как координата $z$ не входит в уравнение, это означает, что плоскость параллельна оси $z$, т.е. вертикальна).

Теперь найдём расстояние от точки $B(x_0, y_0, z_0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D_0 = 0$. В нашем случае уравнение плоскости $\sqrt{3}x + 3y + 0z + \sqrt{3} = 0$. Используем формулу расстояния от точки до плоскости: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D_0|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$. $A = \sqrt{3}$, $B = 3$, $C = 0$, $D_0 = \sqrt{3}$. $x_0 = 1/2$, $y_0 = \sqrt{3}/2$, $z_0 = 0$.

$d(B, (DFF_1)) = \frac{|\sqrt{3}(1/2) + 3(\sqrt{3}/2) + 0(0) + \sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2 + 0^2}}$ $d(B, (DFF_1)) = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}|}{\sqrt{3 + 9}}$ $d(B, (DFF_1)) = \frac{|\frac{4\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}|}{\sqrt{12}}$ $d(B, (DFF_1)) = \frac{|2\sqrt{3} + \sqrt{3}|}{2\sqrt{3}}$ $d(B, (DFF_1)) = \frac{|3\sqrt{3}|}{2\sqrt{3}}$ $d(B, (DFF_1)) = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{2}$

Ответ:

Расстояние от точки B до плоскости $DFF_1$ равно $3/2$ или $1.5$.

17. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $AED_1$.

18. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все реб-

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1, то есть длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Перевод в СИ

Данные представлены в безразмерных величинах или абстрактных единицах, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти

Расстояние от точки $B$ до плоскости $AED_1$.

Решение

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Разместим центр нижнего основания $O$ в начале координат $(0,0,0)$.

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$:

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$
• $E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Так как высота призмы $h=1$, координаты точки $D_1$ будут:

• $D_1 = (-1, 0, 1)$

Теперь найдем уравнение плоскости $AED_1$. Для этого нам нужны два вектора, лежащих в этой плоскости, исходящие из одной точки, например из $A$.

Вектор $\vec{AE}$:

$\vec{AE} = E - A = (-1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Вектор $\vec{AD_1}$:

$\vec{AD_1} = D_1 - A = (-1 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (-2, 0, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $AED_1$ найдем как векторное произведение $\vec{AE} \times \vec{AD_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

Вычисляем компоненты нормального вектора:

• $n_x = (-\sqrt{3}/2)(1) - (0)(0) = -\sqrt{3}/2$
• $n_y = (0)(-2) - (-3/2)(1) = 3/2$
• $n_z = (-3/2)(0) - (-\sqrt{3}/2)(-2) = 0 - \sqrt{3} = -\sqrt{3}$

Таким образом, $\vec{n} = (-\sqrt{3}/2, 3/2, -\sqrt{3})$. Для удобства можно умножить вектор на 2: $\vec{n'} = (-\sqrt{3}, 3, -2\sqrt{3})$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используем компоненты $\vec{n'}$ как $A, B, C$:

$-\sqrt{3}x + 3y - 2\sqrt{3}z + D = 0$

Подставим координаты точки $A(1,0,0)$ в уравнение плоскости, чтобы найти $D$:

$-\sqrt{3}(1) + 3(0) - 2\sqrt{3}(0) + D = 0$

$-\sqrt{3} + D = 0 \implies D = \sqrt{3}$

Уравнение плоскости $AED_1$:

$-\sqrt{3}x + 3y - 2\sqrt{3}z + \sqrt{3} = 0$

Для удобства можем умножить на -1:

$\sqrt{3}x - 3y + 2\sqrt{3}z - \sqrt{3} = 0$

Теперь найдем расстояние от точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до этой плоскости. Формула расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ имеет вид:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Подставляем значения:

$d = \frac{|\sqrt{3}(1/2) - 3(\sqrt{3}/2) + 2\sqrt{3}(0) - \sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-3)^2 + (2\sqrt{3})^2}}$

Числитель:

$|\sqrt{3}/2 - 3\sqrt{3}/2 + 0 - \sqrt{3}| = |-2\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}| = |-\sqrt{3} - \sqrt{3}| = |-2\sqrt{3}| = 2\sqrt{3}$

Знаменатель:

$\sqrt{3 + 9 + 12} = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$

Расстояние $d$:

$d = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $AED_1$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

18. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $CEF_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1. Это означает, что длина стороны основания шестиугольника $a=1$ и высота призмы $h=1$. Поскольку задача не содержит физических величин, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $CEF_1$.

Решение:

Введем декартову систему координат. Пусть центр нижнего основания $O$ находится в начале координат $(0,0,0)$.

Вершины правильного шестиугольника со стороной $a=1$ и центром в начале координат $(0,0)$ в плоскости $z=0$ имеют следующие координаты:

• $A = (1, 0, 0)$

• $B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• $C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• $D = (-1, 0, 0)$

• $E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

• $F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Вершины верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут иметь те же $x, y$ координаты, что и соответствующие вершины нижнего основания, но $z$-координату, равную высоте призмы, то есть 1.

Таким образом, необходимые координаты точек:

• Точка $B: (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• Точки, определяющие плоскость $CEF_1$:

• $C: (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• $E: (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

• $F_1: (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Найдем уравнение плоскости $CEF_1$. Для этого определим два вектора, лежащие в этой плоскости, например $\vec{CE}$ и $\vec{CF_1}$.

$\vec{CE} = E - C = (-1/2 - (-1/2), -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 0)$

$\vec{CF_1} = F_1 - C = (1/2 - (-1/2), -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (1, -\sqrt{3}, 1)$

Вектор нормали к плоскости $\vec{n}$ можно найти как векторное произведение $\vec{CE} \times \vec{CF_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -\sqrt{3} & 0 \\ 1 & -\sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-\sqrt{3})(1) - (0)(-\sqrt{3})) - \mathbf{j}((0)(1) - (0)(1)) + \mathbf{k}((0)(-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3})(1))$

$\vec{n} = -\sqrt{3}\mathbf{i} - 0\mathbf{j} + \sqrt{3}\mathbf{k} = (-\sqrt{3}, 0, \sqrt{3})$

Для удобства можем использовать более простой вектор нормали, разделив его на $\sqrt{3}$: $\vec{n'} = (-1, 0, 1)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставляя компоненты вектора нормали, получаем $-x + 0y + z + D = 0$, или $-x + z + D = 0$.

Для нахождения $D$ подставим координаты одной из точек плоскости, например $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$:

$-(-1/2) + 0 + D = 0$

$1/2 + D = 0 \Rightarrow D = -1/2$

Таким образом, уравнение плоскости $CEF_1$ есть $-x + z - 1/2 = 0$. Умножим все коэффициенты на -2, чтобы избавиться от дробей и отрицательного коэффициента при $x$: $2x - 2z + 1 = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до плоскости $2x - 2z + 1 = 0$.

Формула расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ выглядит так:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае, $(x_0, y_0, z_0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $A=2, B=0, C=-2, D=1$.

$d = \frac{|2(1/2) + 0(\sqrt{3}/2) + (-2)(0) + 1|}{\sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2}}$

$d = \frac{|1 + 0 + 0 + 1|}{\sqrt{4 + 0 + 4}}$

$d = \frac{|2|}{\sqrt{8}}$

$d = \frac{2}{2\sqrt{2}}$

$d = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Рационализируем знаменатель:

$d = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

1. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD_1$.

2. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между пря-

Для решения задачи найдем расстояние между заданными прямыми, используя метод координат.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сторона куба $a = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $AB$ и $CD_1$.

Решение:

Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Ребро $AB$ расположим вдоль оси $Ox$, ребро $AD$ вдоль оси $Oy$, а ребро $AA_1$ вдоль оси $Oz$.

Тогда координаты вершин куба будут:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (1,0,0)$
• $C = (1,1,0)$
• $D = (0,1,0)$
• $A_1 = (0,0,1)$
• $B_1 = (1,0,1)$
• $C_1 = (1,1,1)$
• $D_1 = (0,1,1)$

Рассмотрим прямую $AB$. Она проходит через точку $A(0,0,0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{AB} = B - A = (1-0, 0-0, 0-0) = (1,0,0)$.

Рассмотрим прямую $CD_1$. Она проходит через точки $C(1,1,0)$ и $D_1(0,1,1)$. Направляющий вектор прямой $CD_1$: $\vec{v_2} = \vec{CD_1} = D_1 - C = (0-1, 1-1, 1-0) = (-1,0,1)$.

В качестве вектора, соединяющего точки на прямых, возьмем вектор $\vec{M_1M_2}$ от точки $M_1=A(0,0,0)$ на прямой $AB$ до точки $M_2=C(1,1,0)$ на прямой $CD_1$.

$\vec{M_1M_2} = \vec{AC} = C - A = (1-0, 1-0, 0-0) = (1,1,0)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми определяется по формуле: $d = \frac{|(\vec{M_1M_2} \cdot [\vec{v_1} \times \vec{v_2}])|}{|[\vec{v_1} \times \vec{v_2}]|}$.

Сначала вычислим векторное произведение направляющих векторов $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$:

$[\vec{v_1} \times \vec{v_2}] = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(1 \cdot 0 - 0 \cdot (-1)) = 0\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + 0\mathbf{k} = (0,-1,0)$.

Модуль векторного произведения:

$|[\vec{v_1} \times \vec{v_2}]| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{0+1+0} = \sqrt{1} = 1$.

Теперь вычислим смешанное произведение $(\vec{M_1M_2} \cdot [\vec{v_1} \times \vec{v_2}])$:

$(\vec{M_1M_2} \cdot [\vec{v_1} \times \vec{v_2}]) = (1,1,0) \cdot (0,-1,0) = 1 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 = 0 - 1 + 0 = -1$.

Подставим полученные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|-1|}{1} = \frac{1}{1} = 1$.

Альтернативное геометрическое решение:

Прямая $AB$ лежит в плоскости $y=0$ (плоскость, проходящая через грани $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$ если смотреть вдоль оси $x$). Эта плоскость совпадает с плоскостью $xOz$.

Прямая $CD_1$ проходит через точки $C(1,1,0)$ и $D_1(0,1,1)$. Заметим, что для обеих точек $y$-координата равна $1$. Это означает, что вся прямая $CD_1$ лежит в плоскости $y=1$. Эта плоскость параллельна плоскости $y=0$.

Поскольку прямая $AB$ лежит в плоскости $y=0$ и прямая $CD_1$ лежит в плоскости $y=1$, а эти две плоскости параллельны друг другу, то расстояние между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CD_1$ равно расстоянию между этими двумя параллельными плоскостями. Расстояние между плоскостями $y=0$ и $y=1$ равно $|1-0|=1$.

Ответ: $1$.

2. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $AB$ и $DC_1$.

3. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между пря-

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $AB$ и $DC_1$.

Решение

Прямая $AB$ является ребром основания куба. Прямая $DC_1$ является диагональю боковой грани $CDD_1C_1$.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $AB$ и $DC_1$ необходимо найти расстояние от одной из прямых до плоскости, содержащей другую прямую и параллельной первой.

Заметим, что прямая $AB$ параллельна прямой $CD$, поскольку $ABCD$ — квадрат (грань куба). Прямая $CD$ лежит в плоскости боковой грани $CDD_1C_1$. Прямая $DC_1$ также лежит в этой плоскости.

Таким образом, плоскость $CDD_1C_1$ содержит прямую $DC_1$ и параллельна прямой $AB$ (поскольку $AB \parallel CD$, а $CD$ лежит в этой плоскости).

Расстояние между прямыми $AB$ и $DC_1$ равно расстоянию от любой точки прямой $AB$ до плоскости $CDD_1C_1$. Возьмем точку $A$, лежащую на прямой $AB$.

Расстояние от точки $A$ до плоскости $CDD_1C_1$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на эту плоскость. В кубе ребро $AD$ перпендикулярно грани $CDD_1C_1$ (поскольку $AD \perp CD$ и $AD \perp DD_1$).

Длина ребра $AD$ равна длине стороны единичного куба, то есть $a=1$.

Следовательно, расстояние между прямыми $AB$ и $DC_1$ равно $AD = 1$.

Можно также использовать метод координат. Пусть начало координат находится в точке $A$. Тогда координаты вершин куба: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$.

Вектор направления прямой $AB$ равен $\vec{u} = \vec{AB} = (1-0, 0-0, 0-0) = (1,0,0)$.

Вектор направления прямой $DC_1$ равен $\vec{v} = \vec{DC_1} = (1-0, 1-1, 1-0) = (1,0,1)$.

Возьмем точку $P_1 = A(0,0,0)$ на прямой $AB$ и точку $P_2 = D(0,1,0)$ на прямой $DC_1$.

Вектор $\vec{P_2P_1} = (0-0, 1-0, 0-0) = (0,1,0)$.

Найдем векторное произведение $\vec{u} \times \vec{v}$:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 0 - 0 \cdot 1) = (0, -1, 0)$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.

Смешанное произведение $(\vec{P_2P_1} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}))$:

$(0,1,0) \cdot (0,-1,0) = 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 = -1$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$

$d = \frac{|-1|}{1} = 1$.

Ответ:

1

3. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $AB$ и $A_1C_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $AB$ и $A_1C_1$.

Решение

Для решения задачи используем метод координат.

1. Введение системы координат:

Расположим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Ось $Ox$ направим вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$, и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$. Так как куб единичный, длина каждого его ребра равна 1.

Координаты необходимых вершин:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (1,0,0)$
• $A_1 = (0,0,1)$
• $C_1 = (1,1,1)$

2. Определение прямых:

Прямая $AB$: Прямая $AB$ проходит через точку $A(0,0,0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{AB} = B - A = (1-0, 0-0, 0-0) = (1,0,0)$.
Возьмем точку $P_1 = A = (0,0,0)$ на этой прямой.

Прямая $A_1C_1$: Прямая $A_1C_1$ проходит через точку $A_1(0,0,1)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{A_1C_1} = C_1 - A_1 = (1-0, 1-0, 1-1) = (1,1,0)$.
Возьмем точку $P_2 = A_1 = (0,0,1)$ на этой прямой.

Эти прямые являются скрещивающимися, поскольку их направляющие векторы не коллинеарны ($\vec{v_1} \ne k\vec{v_2}$), и они не лежат в одной плоскости (например, $AB$ лежит в плоскости $z=0$, а $A_1C_1$ - в плоскости $z=1$).

3. Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми:

Расстояние $d$ между двумя скрещивающимися прямыми, заданными точками $P_1$, $P_2$ и направляющими векторами $\vec{v_1}$, $\vec{v_2}$ соответственно, вычисляется по формуле: $d = \frac{|(\vec{P_1P_2}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

Найдем вектор $\vec{P_1P_2}$: $\vec{P_1P_2} = P_2 - P_1 = (0-0, 0-0, 1-0) = (0,0,1)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$: $\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) = 0\mathbf{i} - 0\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (0,0,1)$.

Найдем модуль этого векторного произведения: $||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = ||(0,0,1)|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$.

Вычислим скалярное произведение (числитель формулы): $(\vec{P_1P_2}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (0,0,1) \cdot (0,0,1) = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1$.

Подставим значения в формулу для расстояния: $d = \frac{|1|}{|1|} = 1$.

Альтернативный геометрический подход:

Прямая $AB$ является ребром куба и лежит в плоскости нижнего основания $ABCD$. В нашей системе координат эта плоскость задается уравнением $z=0$. Прямая $A_1C_1$ является диагональю верхнего основания куба $A_1B_1C_1D_1$. Эта плоскость задается уравнением $z=1$. Плоскости $z=0$ и $z=1$ параллельны. Расстояние между скрещивающимися прямыми, если одна из них лежит в одной из двух параллельных плоскостей, а другая - в другой, равно расстоянию между этими параллельными плоскостями. Расстояние между плоскостями $z=0$ и $z=1$ равно $|1-0|=1$. Таким образом, расстояние между прямыми $AB$ и $A_1C_1$ равно 1.

Ответ: 1

4. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $AB$ и $B_1D_1$.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $AB$ и $B_1D_1$.

Решение

Прямая $AB$ является ребром нижнего основания куба $ABCD$. Плоскость, содержащая нижнее основание, это плоскость $ABCD$.

Прямая $B_1D_1$ является диагональю верхнего основания куба $A_1B_1C_1D_1$. Плоскость, содержащая верхнее основание, это плоскость $A_1B_1C_1D_1$.

Плоскости $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ являются параллельными плоскостями, так как они представляют собой основания куба.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, которые лежат в параллельных плоскостях, равно расстоянию между этими параллельными плоскостями.

Расстояние между плоскостями $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ равно высоте куба, которая совпадает с длиной его ребра.

Поскольку куб единичный, длина его ребра $a = 1$.

Таким образом, расстояние между прямыми $AB$ и $B_1D_1$ равно $1$.

Ответ:

$1$

5. В единичном кубе $ABCDA, B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $AB$ и $C_1D_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Длина ребра куба $a = 1$.

Перевод в СИ: не применимо, поскольку нет физических единиц измерения.

Найти:

Расстояние между прямыми AB и $C_1D_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат.

1. Введем декартову систему координат так, чтобы вершина $A$ куба совпадала с началом координат $(0,0,0)$. Ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ направим вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно.

2. Определим координаты вершин куба:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (1,0,0)$ (поскольку куб единичный, длина ребра $AB=1$)
• $C = (1,1,0)$
• $D = (0,1,0)$
• $A_1 = (0,0,1)$
• $B_1 = (1,0,1)$
• $C_1 = (1,1,1)$
• $D_1 = (0,1,1)$

3. Определим направляющие векторы для прямых AB и $C_1D_1$:

• Для прямой AB: Возьмем точки $A(0,0,0)$ и $B(1,0,0)$. Направляющий вектор $\vec{v}_{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (1-0, 0-0, 0-0) = (1,0,0)$.
• Для прямой $C_1D_1$: Возьмем точки $C_1(1,1,1)$ и $D_1(0,1,1)$. Направляющий вектор $\vec{v}_{C_1D_1} = \vec{D_1} - \vec{C_1} = (0-1, 1-1, 1-1) = (-1,0,0)$.

4. Установим отношение между прямыми AB и $C_1D_1$.

Поскольку направляющие векторы $\vec{v}_{AB} = (1,0,0)$ и $\vec{v}_{C_1D_1} = (-1,0,0)$ коллинеарны (т.е., $\vec{v}_{C_1D_1} = -1 \cdot \vec{v}_{AB}$), прямые AB и $C_1D_1$ параллельны.

5. Найдем расстояние между параллельными прямыми.

Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине любого отрезка, который перпендикулярен обеим прямым и соединяет их. Возьмем точку $A(0,0,0)$ на прямой AB и точку $D_1(0,1,1)$ на прямой $C_1D_1$. Соединим эти точки вектором $\vec{AD_1}$.

Вектор $\vec{AD_1} = \vec{D_1} - \vec{A} = (0-0, 1-0, 1-0) = (0,1,1)$.

Проверим, перпендикулярен ли вектор $\vec{AD_1}$ направляющим векторам обеих прямых:

• $\vec{AD_1} \cdot \vec{v}_{AB} = (0,1,1) \cdot (1,0,0) = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 0$. (Векторы перпендикулярны)
• $\vec{AD_1} \cdot \vec{v}_{C_1D_1} = (0,1,1) \cdot (-1,0,0) = 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 0$. (Векторы перпендикулярны)

Поскольку $\vec{AD_1}$ перпендикулярен направляющим векторам обеих прямых, отрезок $AD_1$ является общим перпендикуляром. Длина этого отрезка и есть искомое расстояние.

Длина отрезка $AD_1$ (расстояние между точками $A(0,0,0)$ и $D_1(0,1,1)$) вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$

$d = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2}$

$d = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2}$

$d = \sqrt{0 + 1 + 1}$

$d = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$