Номер 5, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

5. В единичном кубе $ABCDA, B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $AB$ и $C_1D_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Длина ребра куба $a = 1$.

Перевод в СИ: не применимо, поскольку нет физических единиц измерения.

Найти:

Расстояние между прямыми AB и $C_1D_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат.

1. Введем декартову систему координат так, чтобы вершина $A$ куба совпадала с началом координат $(0,0,0)$. Ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ направим вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно.

2. Определим координаты вершин куба:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (1,0,0)$ (поскольку куб единичный, длина ребра $AB=1$)
• $C = (1,1,0)$
• $D = (0,1,0)$
• $A_1 = (0,0,1)$
• $B_1 = (1,0,1)$
• $C_1 = (1,1,1)$
• $D_1 = (0,1,1)$

3. Определим направляющие векторы для прямых AB и $C_1D_1$:

• Для прямой AB: Возьмем точки $A(0,0,0)$ и $B(1,0,0)$. Направляющий вектор $\vec{v}_{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (1-0, 0-0, 0-0) = (1,0,0)$.
• Для прямой $C_1D_1$: Возьмем точки $C_1(1,1,1)$ и $D_1(0,1,1)$. Направляющий вектор $\vec{v}_{C_1D_1} = \vec{D_1} - \vec{C_1} = (0-1, 1-1, 1-1) = (-1,0,0)$.

4. Установим отношение между прямыми AB и $C_1D_1$.

Поскольку направляющие векторы $\vec{v}_{AB} = (1,0,0)$ и $\vec{v}_{C_1D_1} = (-1,0,0)$ коллинеарны (т.е., $\vec{v}_{C_1D_1} = -1 \cdot \vec{v}_{AB}$), прямые AB и $C_1D_1$ параллельны.

5. Найдем расстояние между параллельными прямыми.

Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине любого отрезка, который перпендикулярен обеим прямым и соединяет их. Возьмем точку $A(0,0,0)$ на прямой AB и точку $D_1(0,1,1)$ на прямой $C_1D_1$. Соединим эти точки вектором $\vec{AD_1}$.

Вектор $\vec{AD_1} = \vec{D_1} - \vec{A} = (0-0, 1-0, 1-0) = (0,1,1)$.

Проверим, перпендикулярен ли вектор $\vec{AD_1}$ направляющим векторам обеих прямых:

• $\vec{AD_1} \cdot \vec{v}_{AB} = (0,1,1) \cdot (1,0,0) = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 0$. (Векторы перпендикулярны)
• $\vec{AD_1} \cdot \vec{v}_{C_1D_1} = (0,1,1) \cdot (-1,0,0) = 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 0$. (Векторы перпендикулярны)

Поскольку $\vec{AD_1}$ перпендикулярен направляющим векторам обеих прямых, отрезок $AD_1$ является общим перпендикуляром. Длина этого отрезка и есть искомое расстояние.

Длина отрезка $AD_1$ (расстояние между точками $A(0,0,0)$ и $D_1(0,1,1)$) вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$

$d = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2}$

$d = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2}$

$d = \sqrt{0 + 1 + 1}$

$d = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$