Номер 9, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны $1$, а боковые ребра равны $2$, найдите расстояние между прямыми $BC$ и $EF$.

Дано:
Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.
Сторона основания $a = 1$.
Длина бокового ребра $l = 2$.

Перевод в СИ:
Данные величины являются безразмерными или представлены в условных единицах измерения. Для решения задачи не требуется дополнительный перевод в систему СИ, так как результат также будет выражен в тех же условных единицах.
Сторона основания $a = 1$ (усл. ед.).
Длина бокового ребра $l = 2$ (усл. ед.).

Найти:
Расстояние между прямыми $BC$ и $EF$.

Решение:
1. Основанием правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ является правильный шестиугольник $ABCDEF$.
2. Прямые $BC$ и $EF$ являются противоположными сторонами этого правильного шестиугольника.
3. В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны. Следовательно, прямые $BC$ и $EF$ параллельны и лежат в одной плоскости (плоскости основания пирамиды).
4. Расстояние между двумя параллельными прямыми (сторонами $BC$ и $EF$) в правильном шестиугольнике равно расстоянию между противоположными сторонами шестиугольника.
5. Правильный шестиугольник со стороной $a$ можно разбить на шесть равносторонних треугольников со стороной $a$, вершиной которых является центр шестиугольника.
6. Расстояние от центра шестиугольника до середины его стороны (апофема основания) равно высоте равностороннего треугольника со стороной $a$. Высота равностороннего треугольника вычисляется по формуле $h_a = a\frac{\sqrt{3}}{2}$.
7. Расстояние между противоположными сторонами шестиугольника равно удвоенной апофеме основания, так как оно проходит через центр шестиугольника. Таким образом, искомое расстояние $d = 2 \cdot h_a = 2 \cdot a\frac{\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$.
8. Подставляем значение стороны основания $a = 1$:
$d = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Информация о длине бокового ребра ($l = 2$) является избыточной для решения данной задачи, так как искомые прямые лежат в плоскости основания.

Ответ:
$\sqrt{3}$