Номер 14, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BC$ и $E_1F_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны $1$.

Из этого следует, что длина стороны основания $a = 1$. Высота призмы $h = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BC$ и $E_1F_1$.

Решение:

Прямая $BC$ является стороной нижнего основания призмы, а прямая $E_1F_1$ является стороной верхнего основания призмы.

В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны. Таким образом, сторона $BC$ параллельна стороне $EF$ (то есть $BC \parallel EF$).

В призме соответствующие ребра оснований параллельны друг другу. Следовательно, ребро $E_1F_1$ в верхнем основании параллельно ребру $EF$ в нижнем основании (то есть $E_1F_1 \parallel EF$).

Из того, что $BC \parallel EF$ и $E_1F_1 \parallel EF$, следует, что прямые $BC$ и $E_1F_1$ параллельны между собой. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине общего перпендикуляра, проведенного между ними.

Для нахождения этого расстояния используем метод координат. Разместим центр нижнего основания $O$ в начале координат $(0,0,0)$. Поскольку все ребра призмы равны $1$, длина стороны шестиугольника $a=1$, и высота призмы $h=1$.

В правильном шестиугольнике со стороной $a=1$, радиус описанной окружности равен $a=1$. Расстояние от центра шестиугольника до середины стороны (апофема) равно $r = a \frac{\sqrt{3}}{2}$. Для $a=1$, $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Разместим вершины нижнего основания так, чтобы сторона $BC$ была параллельна оси $x$. Тогда координаты вершин будут: $B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ $C = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ $E = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ $F = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Прямая $BC$ лежит в плоскости $z=0$ и имеет уравнение $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку высота призмы $h=1$, верхнее основание находится в плоскости $z=1$. Координаты вершин верхнего основания: $E_1 = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ $F_1 = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Прямая $E_1F_1$ лежит в плоскости $z=1$ и имеет уравнение $y=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Обе прямые $BC$ и $E_1F_1$ параллельны оси $x$. Для нахождения расстояния между ними достаточно взять произвольную точку на одной прямой и найти расстояние до другой. Однако, поскольку они параллельны оси $x$ и лежат в разных плоскостях $y = \text{const}$ и $z = \text{const}$, мы можем выбрать две точки с одинаковыми $x$-координатами на каждой прямой, и расстояние между ними будет кратчайшим.

Возьмем точку $P_1$ на прямой $BC$: $P_1 = (0, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. Возьмем точку $P_2$ на прямой $E_1F_1$: $P_2 = (0, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Расстояние между точками $P_1(x_1, y_1, z_1)$ и $P_2(x_2, y_2, z_2)$ в пространстве вычисляется по формуле: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$

Подставим координаты $P_1$ и $P_2$: $d = \sqrt{(0-0)^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (1-0)^2}$ $d = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + 1^2}$ $d = \sqrt{0 + 3 + 1}$ $d = \sqrt{4}$ $d = 2$

Этот отрезок, соединяющий $P_1$ и $P_2$, является общим перпендикуляром к прямым $BC$ и $E_1F_1$, поскольку он расположен в плоскости $x=0$ (плоскость $yz$), которая перпендикулярна обеим прямым (они параллельны оси $x$).

Ответ: $2$