Номер 13, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BC$ и $D_1E_1$.

14. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Таким образом, длина стороны основания $a=1$, и высота призмы $h=1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BC$ и $D_1E_1$.

Решение:

Прямые $BC$ и $D_1E_1$ являются скрещивающимися прямыми, так как они лежат в разных параллельных плоскостях (плоскости оснований призмы) и не параллельны друг другу.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми используем метод координат.

Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$. Поскольку все ребра равны 1, высота призмы $h=1$, и длина стороны основания правильного шестиугольника $a=1$.

Координаты вершин нижнего основания $ABCDEF$ (для правильного шестиугольника со стороной $a=1$ и центром в начале координат, с вершиной $A$ на оси $Ox$):

• $A = (1, 0, 0)$

• $B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

• $C = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

• $D = (-1, 0, 0)$

• $E = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

• $F = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Соответствующие вершины верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут иметь те же $x$ и $y$ координаты, но $z$-координата будет равна 1 (так как высота призмы равна 1):

• $D_1 = (-1, 0, 1)$

• $E_1 = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Теперь определим прямые $BC$ и $D_1E_1$ в координатах:

Прямая $BC$ проходит через точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Вектор направления прямой $BC$: $\vec{v_{BC}} = C - B = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = (-1, 0, 0)$.

Прямая $D_1E_1$ проходит через точки $D_1(-1, 0, 1)$ и $E_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Вектор направления прямой $D_1E_1$: $\vec{v_{D_1E_1}} = E_1 - D_1 = (-\frac{1}{2} - (-1), -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 1) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми $L_1$ (проходящей через точку $P_1$ с направляющим вектором $\vec{v_1}$) и $L_2$ (проходящей через точку $P_2$ с направляющим вектором $\vec{v_2}$) можно найти по формуле:

$d = \frac{|(P_2 - P_1) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{\|\vec{v_1} \times \vec{v_2}\|}$

Пусть $P_1 = B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $\vec{v_1} = \vec{v_{BC}} = (-1, 0, 0)$.

Пусть $P_2 = D_1 = (-1, 0, 1)$ и $\vec{v_2} = \vec{v_{D_1E_1}} = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

1. Найдем вектор $\vec{P_1P_2} = P_2 - P_1$:

$\vec{P_1P_2} = (-1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

2. Найдем векторное произведение направляющих векторов $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 0 - 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})) - \vec{j}((-1) \cdot 0 - 0 \cdot \frac{1}{2}) + \vec{k}((-1) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 0 \cdot \frac{1}{2})$

$= (0, 0, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

3. Найдем модуль векторного произведения $\|\vec{v_1} \times \vec{v_2}\|$:

$\|\vec{v_1} \times \vec{v_2}\| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Найдем смешанное произведение (скалярное произведение вектора $\vec{P_1P_2}$ на векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$):

$(P_2 - P_1) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1) \cdot (0, 0, \frac{\sqrt{3}}{2}) = (-\frac{3}{2}) \cdot 0 + (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 0 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

5. Подставим найденные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 1$.

Геометрическое подтверждение:

Вектор $\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (0, 0, \frac{\sqrt{3}}{2})$ параллелен оси $Oz$. Это означает, что общий перпендикуляр к прямым $BC$ и $D_1E_1$ является вертикальной линией (параллельной оси $Oz$). Расстояние между скрещивающимися прямыми в этом случае равно длине этого перпендикуляра.

Поскольку общий перпендикуляр вертикален, он соединяет точки, которые имеют одинаковые $x$ и $y$ координаты, но различаются по $z$-координате.

Проекция прямой $BC$ на плоскость $z=0$ (плоскость нижнего основания) - это прямая $BC$ с уравнением $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Проекция прямой $D_1E_1$ на плоскость $z=0$ - это прямая $DE$. Прямая $DE$ проходит через точки $D(-1,0,0)$ и $E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Уравнение прямой $DE$: $y - 0 = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2} - 0}{-\frac{1}{2} - (-1)}(x - (-1))$

$y = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}(x+1) \Rightarrow y = -\sqrt{3}(x+1)$.

Найдем точку пересечения проекций: $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $y = -\sqrt{3}(x+1)$:

$\frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}(x+1)$

$\frac{1}{2} = -(x+1)$

$x = -\frac{3}{2}$.

Таким образом, точка пересечения проекций на плоскость $xy$ имеет координаты $(-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Точка на прямой $BC$ (в плоскости $z=0$) с этими $x, y$ координатами: $P_{BC} = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Точка на прямой $D_1E_1$ (в плоскости $z=1$) с этими $x, y$ координатами: $P_{D_1E_1} = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Эти две точки лежат на общем перпендикуляре к прямым $BC$ и $D_1E_1$. Расстояние между ними равно длине этого перпендикуляра:

$d = \sqrt{(-\frac{3}{2} - (-\frac{3}{2}))^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$.

Результат совпадает.

Ответ: 1