Номер 18, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $DD_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Перевод в СИ:

Длина стороны основания $a = 1$ (условная единица длины).

Высота призмы $h = 1$ (условная единица длины).

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $DD_1$.

Решение:

Прямые $BB_1$ и $DD_1$ являются боковыми ребрами правильной шестиугольной призмы. В правильной призме боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и параллельны друг другу. Следовательно, прямые $BB_1$ и $DD_1$ параллельны.

Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка, перпендикулярного обеим прямым, соединяющего их. В данном случае, так как прямые $BB_1$ и $DD_1$ перпендикулярны плоскости основания ABCDEF, расстояние между ними будет равно расстоянию между точками B и D в плоскости основания.

Основанием призмы является правильный шестиугольник ABCDEF со стороной $a = 1$. Необходимо найти длину диагонали BD.

Рассмотрим правильный шестиугольник ABCDEF. Его можно разбить на шесть правильных (равносторонних) треугольников, сходящихся в центре шестиугольника. Длина стороны каждого такого треугольника равна стороне шестиугольника, то есть $a=1$.

Угол правильного шестиугольника равен $(6-2) \cdot 180^\circ / 6 = 4 \cdot 180^\circ / 6 = 120^\circ$. Таким образом, угол $\angle BCD = 120^\circ$.

Рассмотрим треугольник BCD. В этом треугольнике стороны BC и CD равны стороне шестиугольника, то есть $BC = CD = a = 1$. Угол между ними $\angle BCD = 120^\circ$.

Применим теорему косинусов для нахождения длины стороны BD в треугольнике BCD:

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$

Подставим известные значения:

$BD^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$

Так как $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, получим:

$BD^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2})$

$BD^2 = 2 + 1$

$BD^2 = 3$

$BD = \sqrt{3}$

Таким образом, расстояние между прямыми $BB_1$ и $DD_1$ равно длине отрезка BD, который равен $\sqrt{3}$.

Ответ:

$\sqrt{3}$