Номер 21, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

21. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BC_1$ и $FE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех рёбер призмы равна $1$. Это означает, что сторона основания $a = 1$ и высота призмы (длина бокового ребра) $h = 1$.

Перевод в СИ:

Единицы измерения не указаны, поэтому значения остаются без изменений: $a = 1$ (условная единица длины), $h = 1$ (условная единица длины).

Найти:

Расстояние между прямыми $BC_1$ и $FE_1$.

Решение:

Для определения расстояния между прямыми воспользуемся методом координат. Разместим начало координат $O(0,0,0)$ в центре нижнего основания $ABCDEF$. Для удобства расчетов, расположим вершины шестиугольника следующим образом: ось $x$ проходит через середины сторон $AB$ и $DE$, а ось $y$ проходит через вершины $C$ и $F$. При такой ориентации, координаты вершин основания с длиной стороны $a=1$ будут:

• $A=(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $B=(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $C=(-1, 0, 0)$
• $D=(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $E=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $F=(1, 0, 0)$

Однако, более стандартным подходом является размещение вершины $A$ на оси $x$. Давайте переориентируем оси так, чтобы $F$ был на положительной части оси $x$, это упростит вычисления для $F$ и $E$.

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$ и центром в начале координат $(0,0,0)$, при условии, что вершина $F$ находится на положительной части оси $x$:

• $F=(1, 0, 0)$
• $E=(1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $D=(1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C=(1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$
• $B=(1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $A=(1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Так как высота призмы $h=1$, координаты вершин верхнего основания $A_1, B_1, \dots, F_1$ будут иметь $z$-координату, равную $1$.

Необходимые точки:

• $B=(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $C_1=(-1, 0, 1)$
• $F=(1, 0, 0)$
• $E_1=(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Определим векторы направлений для прямых $BC_1$ и $FE_1$.

Для прямой $BC_1$: вектор $\vec{u} = \vec{BC_1} = C_1 - B = (-1 - (-1/2), 0 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Для прямой $FE_1$: вектор $\vec{v} = \vec{FE_1} = E_1 - F = (1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Поскольку векторы направлений $\vec{u}$ и $\vec{v}$ совпадают, прямые $BC_1$ и $FE_1$ параллельны.

Расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной прямой до другой прямой. Мы можем выбрать точку $F$ на прямой $FE_1$ и найти расстояние от $F$ до прямой $BC_1$. Однако, проще найти вектор, соединяющий точки на обеих прямых, который перпендикулярен направляющему вектору.

Рассмотрим вектор $\vec{FB}$, соединяющий точку $F$ на прямой $FE_1$ и точку $B$ на прямой $BC_1$:

$\vec{FB} = B - F = (-1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Проверим, перпендикулярен ли вектор $\vec{FB}$ направляющему вектору $\vec{u}$ (или $\vec{v}$):

$\vec{FB} \cdot \vec{u} = (-3/2) \cdot (-1/2) + (-\sqrt{3}/2) \cdot (\sqrt{3}/2) + (0) \cdot (1)$

$= 3/4 - 3/4 + 0 = 0$.

Поскольку скалярное произведение равно нулю, вектор $\vec{FB}$ перпендикулярен направляющему вектору $\vec{u}$. Это означает, что длина вектора $\vec{FB}$ является расстоянием между параллельными прямыми $BC_1$ и $FE_1$.

Расстояние $d = |\vec{FB}| = \sqrt{(-3/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 0^2}$

$d = \sqrt{9/4 + 3/4 + 0} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $BC_1$ и $FE_1$ составляет $\sqrt{3}$.