Номер 15, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BC$ и $A_1F_1$.

Дано:
Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длина всех ребер призмы равна $1$.
Требуется найти расстояние между прямыми $BC$ и $AF_1$.

Перевод всех данных в систему СИ:
Длина ребра $a = 1$ (условная единица длины). Поскольку конкретные единицы не указаны, перевод в метры не требуется.

Найти:
Расстояние между прямыми $BC$ и $AF_1$.

Решение:
Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат $O=(0,0,0)$ находится в центре нижнего основания $ABCDEF$.
Так как призма правильная и все её ребра равны $1$, радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен длине его стороны, то есть $R=1$. Высота призмы также равна $H=1$.

Координаты вершин нижнего основания (плоскость $z=0$):
$A = (1, 0, 0)$
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$F = (1 \cdot \cos(-60^\circ), 1 \cdot \sin(-60^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты вершин верхнего основания (плоскость $z=1$):
$F_1 = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Найдем векторы направлений и точки для каждой прямой.

Для прямой $BC$:
Возьмем точку $P_1 = B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
Вектор направления $\vec{v_1} = \vec{BC} = C - B = (-1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0) = (-1, 0, 0)$.

Для прямой $AF_1$:
Возьмем точку $P_2 = A = (1, 0, 0)$.
Вектор направления $\vec{v_2} = \vec{AF_1} = F_1 - A = (1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, заданными как $L_1 = P_1 + t\vec{v_1}$ и $L_2 = P_2 + s\vec{v_2}$, вычисляется по формуле:
$d = \frac{|(P_2 - P_1) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

1. Найдем вектор $P_2 - P_1$:
$P_2 - P_1 = A - B = (1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

2. Найдем векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:
$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 0 \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$
$= \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1/2)) + \mathbf{k}(-1 \cdot (-\sqrt{3}/2) - 0 \cdot (-1/2))$
$= \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(-1) + \mathbf{k}(\sqrt{3}/2)$
$= (0, 1, \sqrt{3}/2)$.

3. Найдем скалярное произведение $(P_2 - P_1) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})$:
$(1/2, -\sqrt{3}/2, 0) \cdot (0, 1, \sqrt{3}/2) = (1/2)(0) + (-\sqrt{3}/2)(1) + (0)(\sqrt{3}/2) = 0 - \sqrt{3}/2 + 0 = -\sqrt{3}/2$.

4. Найдем модуль векторного произведения $||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||$:
$||(0, 1, \sqrt{3}/2)|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{0 + 1 + 3/4} = \sqrt{7/4} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

5. Вычислим расстояние $d$:
$d = \frac{|-\sqrt{3}/2|}{\sqrt{7}/2} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{7}/2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$.

Ответ:
Расстояние между прямыми $BC$ и $AF_1$ равно $\frac{\sqrt{21}}{7}$.