Номер 10, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10. В правильной треугольной призме $ABC A_1 B_1 C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $AB$ и $B_1 C_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABC A_1 B_1 C_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $AB$ и $B_1 C_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $AB$ и $B_1 C_1$ воспользуемся методом координат.

Введем прямоугольную систему координат. Пусть плоскость основания $ABC$ лежит в плоскости $z=0$.

Поскольку призма правильная, основание $ABC$ является равносторонним треугольником. Расположим вершину $A$ в начале координат: $A=(0,0,0)$.

Вершину $B$ расположим на оси $Ox$: $B=(1,0,0)$.

Для вершины $C$ равностороннего треугольника со стороной 1, ее координаты будут $C=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Так как все ребра призмы равны 1, высота призмы также равна 1.

Тогда координаты вершин верхнего основания $A_1 B_1 C_1$ будут: $A_1 = (0,0,1)$, $B_1 = (1,0,1)$, $C_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Определим прямую $AB$:

Точка на прямой $AB$: $P_1 = A = (0,0,0)$.

Направляющий вектор прямой $AB$: $\vec{u} = \vec{AB} = B - A = (1-0, 0-0, 0-0) = (1,0,0)$.

Определим прямую $B_1 C_1$:

Точка на прямой $B_1 C_1$: $P_2 = B_1 = (1,0,1)$.

Направляющий вектор прямой $B_1 C_1$: $\vec{v} = \vec{B_1 C_1} = C_1 - B_1 = (1/2-1, \sqrt{3}/2-0, 1-1) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор, соединяющий точки $P_1$ и $P_2$: $\vec{P_1 P_2} = B_1 - A = (1-0, 0-0, 1-0) = (1,0,1)$.

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми определяется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_1 P_2}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$

Вычислим векторное произведение $\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}$:

$\vec{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - 0 \cdot \sqrt{3}/2) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - 0 \cdot (-1/2)) + \mathbf{k}(1 \cdot \sqrt{3}/2 - 0 \cdot (-1/2))$

$\vec{w} = (0, 0, \sqrt{3}/2)$.

Вычислим модуль вектора $\vec{w}$:

$|\vec{w}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{3/4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Вычислим скалярное произведение $(\vec{P_1 P_2}) \cdot \vec{w}$:

$(\vec{P_1 P_2}) \cdot \vec{w} = (1,0,1) \cdot (0,0,\sqrt{3}/2) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot \sqrt{3}/2 = \sqrt{3}/2$.

Теперь подставим полученные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|\sqrt{3}/2|}{\sqrt{3}/2} = 1$.

Геометрическое пояснение:

Направляющие векторы обеих прямых $AB$ ($ (1,0,0) $) и $B_1 C_1$ ($ (-1/2, \sqrt{3}/2, 0) $) имеют нулевую $z$-координату. Это означает, что обе прямые лежат в плоскостях, параллельных плоскости $z=0$ (плоскости основания).

Прямая $AB$ лежит в плоскости $z=0$. Прямая $B_1 C_1$ лежит в плоскости $z=1$.

Вектор $\vec{w} = (0,0,\sqrt{3}/2)$ является вектором нормали к плоскости, содержащей $B_1 C_1$ и параллельной $AB$. Он также совпадает с направлением общего перпендикуляра к этим прямым, поскольку он перпендикулярен направляющим векторам обеих прямых. Вектор $\vec{w}$ параллелен оси $Oz$.

Следовательно, общий перпендикуляр к прямым $AB$ и $B_1 C_1$ параллелен оси $Oz$.

Длина такого перпендикуляра между плоскостями $z=0$ и $z=1$ равна разнице их $z$-координат, то есть $1-0=1$.

В данном случае, отрезок $BB_1$ соединяет точки $B(1,0,0)$ на прямой $AB$ и $B_1(1,0,1)$ на прямой $B_1C_1$. Этот отрезок перпендикулярен обоим прямым и, следовательно, является общим перпендикуляром. Его длина равна 1.

Ответ: 1