Номер 6, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

6. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CB_1$.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Перевод в СИ

Длина ребра куба $a = 1$ (условная единица длины).

Найти:

Расстояние между прямыми $AB$ и $CB_1$.

Решение

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми воспользуемся методом координат.

1.Введение системы координат:

Расположим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ направим вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно.

2.Определение координат вершин:

Поскольку куб единичный, длина его ребра равна 1.

• Вершина $A$ имеет координаты $(0,0,0)$.

• Вершина $B$ находится на расстоянии 1 от $A$ вдоль оси $Ox$, поэтому $B = (1,0,0)$.

• Вершина $C$ находится на расстоянии 1 от $B$ вдоль оси $Oy$ (или 1 от $A$ по $Ox$ и 1 от $A$ по $Oy$), поэтому $C = (1,1,0)$.

• Вершина $B_1$ находится на расстоянии 1 от $B$ вдоль оси $Oz$, поэтому $B_1 = (1,0,1)$.

3.Определение векторов для прямых:

• Прямая $AB$:

  Эта прямая проходит через точку $A(0,0,0)$.

  Направляющий вектор $\vec{d_1} = \vec{AB} = B - A = (1-0, 0-0, 0-0) = (1,0,0)$.

  Возьмем точку $P_1 = A = (0,0,0)$ на прямой $AB$.

• Прямая $CB_1$:

  Эта прямая проходит через точки $C(1,1,0)$ и $B_1(1,0,1)$.

  Направляющий вектор $\vec{d_2} = \vec{CB_1} = B_1 - C = (1-1, 0-1, 1-0) = (0,-1,1)$.

  Возьмем точку $P_2 = C = (1,1,0)$ на прямой $CB_1$.

4.Вычисление вектора $\vec{P_1P_2}$:

Вектор, соединяющий точку на одной прямой с точкой на другой прямой:

$\vec{P_1P_2} = \vec{AC} = C - A = (1-0, 1-0, 0-0) = (1,1,0)$.

5.Вычисление векторного произведения направляющих векторов $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$:

$\vec{n} = \vec{d_1} \times \vec{d_2} = (1,0,0) \times (0,-1,1)$

$=
(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)),
(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1),
(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0)
$

$= (0 - 0, 0 - 1, -1 - 0) = (0, -1, -1)$.

6.Вычисление модуля векторного произведения:

$||\vec{n}|| = ||\vec{d_1} \times \vec{d_2}|| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$.

7.Вычисление смешанного произведения $(\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2}))$:

$(\vec{P_1P_2} \cdot \vec{n}) = (1,1,0) \cdot (0,-1,-1)$

$= 1 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot (-1) = 0 - 1 + 0 = -1$.

8.Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми:

Расстояние $d$ между двумя скрещивающимися прямыми определяется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2}))|}{||\vec{d_1} \times \vec{d_2}||}$

Подставляем найденные значения:

$d = \frac{|-1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Для устранения иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$d = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$