Номер 17, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $AED_1$.

18. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все реб-

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1, то есть длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Перевод в СИ

Данные представлены в безразмерных величинах или абстрактных единицах, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти

Расстояние от точки $B$ до плоскости $AED_1$.

Решение

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Разместим центр нижнего основания $O$ в начале координат $(0,0,0)$.

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$:

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$
• $E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Так как высота призмы $h=1$, координаты точки $D_1$ будут:

• $D_1 = (-1, 0, 1)$

Теперь найдем уравнение плоскости $AED_1$. Для этого нам нужны два вектора, лежащих в этой плоскости, исходящие из одной точки, например из $A$.

Вектор $\vec{AE}$:

$\vec{AE} = E - A = (-1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Вектор $\vec{AD_1}$:

$\vec{AD_1} = D_1 - A = (-1 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (-2, 0, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $AED_1$ найдем как векторное произведение $\vec{AE} \times \vec{AD_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

Вычисляем компоненты нормального вектора:

• $n_x = (-\sqrt{3}/2)(1) - (0)(0) = -\sqrt{3}/2$
• $n_y = (0)(-2) - (-3/2)(1) = 3/2$
• $n_z = (-3/2)(0) - (-\sqrt{3}/2)(-2) = 0 - \sqrt{3} = -\sqrt{3}$

Таким образом, $\vec{n} = (-\sqrt{3}/2, 3/2, -\sqrt{3})$. Для удобства можно умножить вектор на 2: $\vec{n'} = (-\sqrt{3}, 3, -2\sqrt{3})$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используем компоненты $\vec{n'}$ как $A, B, C$:

$-\sqrt{3}x + 3y - 2\sqrt{3}z + D = 0$

Подставим координаты точки $A(1,0,0)$ в уравнение плоскости, чтобы найти $D$:

$-\sqrt{3}(1) + 3(0) - 2\sqrt{3}(0) + D = 0$

$-\sqrt{3} + D = 0 \implies D = \sqrt{3}$

Уравнение плоскости $AED_1$:

$-\sqrt{3}x + 3y - 2\sqrt{3}z + \sqrt{3} = 0$

Для удобства можем умножить на -1:

$\sqrt{3}x - 3y + 2\sqrt{3}z - \sqrt{3} = 0$

Теперь найдем расстояние от точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до этой плоскости. Формула расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ имеет вид:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Подставляем значения:

$d = \frac{|\sqrt{3}(1/2) - 3(\sqrt{3}/2) + 2\sqrt{3}(0) - \sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-3)^2 + (2\sqrt{3})^2}}$

Числитель:

$|\sqrt{3}/2 - 3\sqrt{3}/2 + 0 - \sqrt{3}| = |-2\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}| = |-\sqrt{3} - \sqrt{3}| = |-2\sqrt{3}| = 2\sqrt{3}$

Знаменатель:

$\sqrt{3 + 9 + 12} = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$

Расстояние $d$:

$d = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $AED_1$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.