Номер 10, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10.В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $EFF_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все ребра равны 1.

Перевод в СИ:
Длина ребра основания $a = 1$.
Высота призмы $h = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $EFF_1$.

Решение:

1. Плоскость $EFF_1$ представляет собой плоскость боковой грани $EFF_1E_1$.

2. В правильной шестиугольной призме боковые грани перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, плоскость $EFF_1E_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$.

3. Если плоскость перпендикулярна другой плоскости, и точка лежит в одной из этих плоскостей (в нашем случае, точка $B$ лежит в плоскости основания $ABCDEF$), то расстояние от этой точки до перпендикулярной плоскости равно расстоянию от точки до линии их пересечения. Линией пересечения плоскостей $ABCDEF$ и $EFF_1E_1$ является прямая $EF$.

4. Таким образом, нам необходимо найти расстояние от точки $B$ до прямой $EF$ в плоскости основания $ABCDEF$.

5. Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a = 1$. В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны. В частности, сторона $BC$ параллельна стороне $EF$.

6. Поскольку точка $B$ лежит на прямой $BC$, а прямая $BC$ параллельна прямой $EF$, то расстояние от точки $B$ до прямой $EF$ равно расстоянию между параллельными прямыми $BC$ и $EF$.

7. Расстояние между противоположными параллельными сторонами правильного шестиугольника равно удвоенной длине апофемы (радиуса вписанной окружности) этого шестиугольника.

8. Апофема $r$ правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $r = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

9. Подставляем значение $a = 1$: $r = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

10. Расстояние между параллельными прямыми $BC$ и $EF$ равно $2r = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

11. Следовательно, расстояние от точки $B$ до плоскости $EFF_1$ равно $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$