Номер 7, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

7. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $AB$ и $DA_1$.

8. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между пря-

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины).

Найти:

Расстояние между прямыми $AB$ и $DA_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат.

Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $A$. Оси $x, y, z$ направим вдоль ребер $AB, AD, AA_1$ соответственно.

Так как куб единичный, длины всех его ребер равны 1.

Координаты необходимых вершин:

$A = (0,0,0)$

$B = (1,0,0)$

$D = (0,1,0)$

$A_1 = (0,0,1)$

Найдем направляющий вектор прямой $AB$. Вектор $\vec{u} = \vec{AB} = B - A = (1-0, 0-0, 0-0) = (1,0,0)$.

Найдем направляющий вектор прямой $DA_1$. Вектор $\vec{v} = \vec{DA_1} = A_1 - D = (0-0, 0-1, 1-0) = (0,-1,1)$.

Прямые $AB$ и $DA_1$ являются скрещивающимися, так как они не параллельны (их направляющие векторы не коллинеарны) и не пересекаются.

Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти как длину отрезка их общего перпендикуляра. Пусть $P_1$ — точка на прямой $AB$, а $P_2$ — точка на прямой $DA_1$. Вектор $\vec{P_1P_2}$ будет общим перпендикуляром, если он ортогонален направляющим векторам обеих прямых.

Параметрическое уравнение прямой $AB$: $P_1(t) = A + t\vec{u} = (0,0,0) + t(1,0,0) = (t,0,0)$.

Параметрическое уравнение прямой $DA_1$: $P_2(s) = D + s\vec{v} = (0,1,0) + s(0,-1,1) = (0, 1-s, s)$.

Вектор, соединяющий произвольные точки на этих прямых: $\vec{P_1P_2} = P_2 - P_1 = (0-t, (1-s)-0, s-0) = (-t, 1-s, s)$.

Для того чтобы $\vec{P_1P_2}$ был общим перпендикуляром, он должен быть ортогонален $\vec{u}$ и $\vec{v}$:

1) $\vec{P_1P_2} \cdot \vec{u} = 0$

$(-t)(1) + (1-s)(0) + (s)(0) = 0$

$-t = 0 \implies t=0$.

Значит, точка $P_1$ на прямой $AB$ для кратчайшего расстояния - это $P_1(0,0,0)$, то есть вершина $A$.

2) $\vec{P_1P_2} \cdot \vec{v} = 0$

Подставим $t=0$ в $\vec{P_1P_2}$: $(0, 1-s, s)$.

$(0)(0) + (1-s)(-1) + (s)(1) = 0$

$-(1-s) + s = 0$

$-1 + s + s = 0$

$2s = 1 \implies s = \frac{1}{2}$.

Значит, точка $P_2$ на прямой $DA_1$ для кратчайшего расстояния - это $P_2(0, 1-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = (0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.

Искомое расстояние $d$ равно длине отрезка $AP_2$ (вектора $\vec{AP_2}$):

$d = |\vec{AP_2}| = \sqrt{(0-0)^2 + (\frac{1}{2}-0)^2 + (\frac{1}{2}-0)^2}$

$d = \sqrt{0^2 + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2}$

$d = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

$d = \sqrt{\frac{2}{4}}$

$d = \sqrt{\frac{1}{2}}$

$d = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $AB$ и $DA_1$ составляет $\frac{\sqrt{2}}{2}$.