Номер 20, страница 165 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $SAE$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.
Сторона основания: $a = 1$.
Длина бокового ребра: $l = 2$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SAE$.

Решение:

Обозначим центр основания пирамиды как точку $O$. В правильной шестиугольной пирамиде вершина $S$ проецируется в центр основания. Выберем систему координат так, чтобы центр основания $O$ находился в начале координат $(0,0,0)$, а ось $OX$ проходила через вершину $A$ основания.

Поскольку основание - правильный шестиугольник со стороной $a=1$, расстояние от центра $O$ до любой вершины также равно $a=1$. Координаты вершин основания, необходимые для решения: $A = (1, 0, 0)$
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Высота пирамиды $h$ может быть найдена из прямоугольного треугольника $SOA$, где $OA$ - радиус описанной окружности (равен стороне основания $a=1$), а $SA$ - боковое ребро $l=2$. По теореме Пифагора: $h^2 + OA^2 = SA^2$. $h^2 + 1^2 = 2^2$
$h^2 + 1 = 4$
$h^2 = 3$
$h = \sqrt{3}$
Таким образом, координаты вершины $S = (0, 0, \sqrt{3})$.

Теперь найдем уравнение плоскости $SAE$. Для этого нам нужны три точки: $S(0, 0, \sqrt{3})$, $A(1, 0, 0)$, $E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$. Найдем два вектора, лежащих в плоскости: $\vec{AS} = S - A = (0-1, 0-0, \sqrt{3}-0) = (-1, 0, \sqrt{3})$
$\vec{AE} = E - A = (-1/2-1, -\sqrt{3}/2-0, 0-0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $SAE$ можно найти как векторное произведение $\vec{AS} \times \vec{AE}$: $\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & \sqrt{3} \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix}$
$\vec{n} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j}(-1 \cdot 0 - \sqrt{3} \cdot (-3/2)) + \mathbf{k}(-1 \cdot (-\sqrt{3}/2) - 0 \cdot (-3/2))$
$\vec{n} = \mathbf{i}(\frac{3}{2}) - \mathbf{j}(\frac{3\sqrt{3}}{2}) + \mathbf{k}(\frac{\sqrt{3}}{2})$
$\vec{n} = (\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

Для удобства можно использовать пропорциональный нормальный вектор, умножив его на 2: $\vec{n'} = (3, -3\sqrt{3}, \sqrt{3})$. Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. $3x - 3\sqrt{3}y + \sqrt{3}z + D = 0$
Подставим координаты точки $A(1, 0, 0)$, которая лежит в плоскости, в уравнение, чтобы найти $D$: $3(1) - 3\sqrt{3}(0) + \sqrt{3}(0) + D = 0$
$3 + D = 0 \implies D = -3$
Уравнение плоскости $SAE$: $3x - 3\sqrt{3}y + \sqrt{3}z - 3 = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до плоскости $SAE$ по формуле расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
$d = \frac{|3(1/2) - 3\sqrt{3}(\sqrt{3}/2) + \sqrt{3}(0) - 3|}{\sqrt{3^2 + (-3\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2}}$
$d = \frac{|3/2 - (3 \cdot 3)/2 + 0 - 3|}{\sqrt{9 + (9 \cdot 3) + 3}}$
$d = \frac{|3/2 - 9/2 - 3|}{\sqrt{9 + 27 + 3}}$
$d = \frac{|-6/2 - 3|}{\sqrt{39}}$
$d = \frac{|-3 - 3|}{\sqrt{39}}$
$d = \frac{|-6|}{\sqrt{39}}$
$d = \frac{6}{\sqrt{39}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{39}$: $d = \frac{6\sqrt{39}}{\sqrt{39} \cdot \sqrt{39}} = \frac{6\sqrt{39}}{39}$
Сократим дробь на 3: $d = \frac{2\sqrt{39}}{13}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{39}}{13}$