Номер 30, страница 165 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

30. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $ACB_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длина всех ребер призмы равна 1.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACB_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния от точки до плоскости можно использовать формулу объема тетраэдра $V = \frac{1}{3} S_{основания} \cdot h$, где $h$ - искомое расстояние. В данном случае, искомое расстояние - это высота тетраэдра $B ACB_1$, опущенная из вершины $B$ на плоскость $ACB_1$. Таким образом, расстояние $d = \frac{3V_{B ACB_1}}{S_{ACB_1}}$.

1. Найдем объем тетраэдра $B ACB_1$. Этот тетраэдр также можно рассматривать как тетраэдр $B_1 ABC$. За основание возьмем треугольник $ABC$, а высотой будет ребро $BB_1$.

Так как призма правильная, в основании лежит правильный шестиугольник со стороной 1.Угол $\angle ABC$ в правильном шестиугольнике равен $120^\circ$.

Площадь треугольника $ABC$ находится по формуле:$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)$
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin(120^\circ)$
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Высота призмы $BB_1$ равна длине ребра, то есть $BB_1 = 1$.

Объем тетраэдра $B_1 ABC$ (или $B ACB_1$):
$V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot BB_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{12}$.

2. Найдем площадь треугольника $ACB_1$.

Длины сторон треугольника $ACB_1$:

Сторона $AC$: В треугольнике $ABC$ по теореме косинусов:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$
$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$
$AC^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$
$AC = \sqrt{3}$.

Сторона $AB_1$: Так как призма прямая, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания. Значит, $\triangle ABB_1$ - прямоугольный с прямым углом при вершине $B$.
По теореме Пифагора:
$AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$
$AB_1 = \sqrt{2}$.

Сторона $CB_1$: Аналогично, $\triangle CBB_1$ - прямоугольный с прямым углом при вершине $B$.
$CB_1^2 = CB^2 + BB_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$
$CB_1 = \sqrt{2}$.

Таким образом, треугольник $ACB_1$ является равнобедренным с длинами сторон $AC = \sqrt{3}$, $AB_1 = \sqrt{2}$, $CB_1 = \sqrt{2}$.

Найдем высоту $h_{B_1}$ треугольника $ACB_1$, опущенную из вершины $B_1$ на основание $AC$. Пусть $M$ - середина $AC$. Тогда $B_1M$ - высота.$AM = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.В прямоугольном треугольнике $AMB_1$:
$h_{B_1}^2 = AB_1^2 - AM^2 = (\sqrt{2})^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 2 - \frac{3}{4} = \frac{8-3}{4} = \frac{5}{4}$
$h_{B_1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Площадь треугольника $ACB_1$:
$S_{ACB_1} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_{B_1} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

3. Вычислим искомое расстояние $d$ от точки $B$ до плоскости $ACB_1$.
$d = \frac{3V}{S_{ACB_1}} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{12}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}}$
$d = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{3}{15}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$
Рационализируем знаменатель:
$d = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{5}}{5}$