Номер 31, страница 166 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

31. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $DFA_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна 1.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $DFA_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Разместим начало координат в центре нижнего основания призмы, точке $O$. Ось $Ox$ направим вдоль радиуса, проходящего через вершину $A$ нижнего основания. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$.

Поскольку призма правильная и длина всех ребер равна 1, сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$ и центром в начале координат $(0,0,0)$:

• $A = (1, 0, 0)$

• $B = (a \cdot \cos(60^\circ), a \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1 \cdot 1/2, 1 \cdot \sqrt{3}/2, 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• $C = (a \cdot \cos(120^\circ), a \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• $D = (a \cdot \cos(180^\circ), a \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

• $E = (a \cdot \cos(240^\circ), a \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

• $F = (a \cdot \cos(300^\circ), a \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Вершина $A_1$ находится над $A$ на высоте $h=1$, поэтому $A_1 = (1, 0, 1)$.

Таким образом, имеем:

• Точка $B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• Точки, определяющие плоскость $DFA_1$: $D = (-1, 0, 0)$, $F = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$, $A_1 = (1, 0, 1)$

Найдем уравнение плоскости $DFA_1$. Для этого определим два вектора, лежащих в этой плоскости:

• $\vec{DF} = F - D = (1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

• $\vec{DA_1} = A_1 - D = (1 - (-1), 0 - 0, 1 - 0) = (2, 0, 1)$

Вектор нормали к плоскости $\vec{n}$ перпендикулярен векторам $\vec{DF}$ и $\vec{DA_1}$. Найдем его как векторное произведение:

$ \vec{n} = \vec{DF} \times \vec{DA_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} $

$ \vec{n} = \mathbf{i}((-\sqrt{3}/2) \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}((3/2) \cdot 1 - 0 \cdot 2) + \mathbf{k}((3/2) \cdot 0 - (-\sqrt{3}/2) \cdot 2) $

$ \vec{n} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} - \frac{3}{2}\mathbf{j} + \sqrt{3}\mathbf{k} $

Вектор нормали $\vec{n} = (-\sqrt{3}/2, -3/2, \sqrt{3})$. Для упрощения вычислений, умножим его на -2:

$ \vec{n}' = (\sqrt{3}, 3, -2\sqrt{3}) $

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D_{plane} = 0$. Используя $\vec{n}'$, получим:

$ \sqrt{3}x + 3y - 2\sqrt{3}z + D_{plane} = 0 $

Подставим координаты точки $D(-1, 0, 0)$ в уравнение плоскости для нахождения $D_{plane}$:

$ \sqrt{3}(-1) + 3(0) - 2\sqrt{3}(0) + D_{plane} = 0 $

$ -\sqrt{3} + D_{plane} = 0 \implies D_{plane} = \sqrt{3} $

Уравнение плоскости $DFA_1$: $ \sqrt{3}x + 3y - 2\sqrt{3}z + \sqrt{3} = 0 $.

Для удобства можно разделить все члены уравнения на $\sqrt{3}$:

$ x + \sqrt{3}y - 2z + 1 = 0 $

Теперь найдем расстояние от точки $B(x_0, y_0, z_0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$, используя формулу расстояния от точки до плоскости:

$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} $

Здесь $A=1$, $B=\sqrt{3}$, $C=-2$, $D=1$.

$ d = \frac{|1 \cdot (1/2) + \sqrt{3} \cdot (\sqrt{3}/2) + (-2) \cdot 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 + (-2)^2}} $

$ d = \frac{|1/2 + 3/2 + 0 + 1|}{\sqrt{1 + 3 + 4}} $

$ d = \frac{|4/2 + 1|}{\sqrt{8}} $

$ d = \frac{|2 + 1|}{\sqrt{8}} $

$ d = \frac{3}{\sqrt{8}} $

Упростим знаменатель: $ \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} $

$ d = \frac{3}{2\sqrt{2}} $

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$ d = \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{3\sqrt{2}}{4} $

Ответ: $ \frac{3\sqrt{2}}{4} $