Номер 34, страница 166 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

34. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $ADE_1$.

25. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все реб-

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все рёбра призмы равны 1.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $ADE_1$.

Решение:

Введём прямоугольную систему координат. Пусть центр основания $ABCDEF$ находится в начале координат $O(0,0,0)$.

Так как призма правильная, и все её рёбра равны 1, то сторона основания $a=1$, и высота призмы $h=1$.

Вершины правильного шестиугольника в основании (лежащего в плоскости $z=0$) имеют следующие координаты (если точка $A$ лежит на оси $Ox$):

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$
• $E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Соответствующие вершины верхнего основания (лежащего в плоскости $z=1$) имеют координаты:

• $A_1 = (1, 0, 1)$
• $D_1 = (-1, 0, 1)$
• $E_1 = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Для определения уравнения плоскости $ADE_1$ возьмём три точки $A(1,0,0)$, $D(-1,0,0)$ и $E_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Составим векторы, лежащие в этой плоскости:

$\vec{AD} = D - A = (-1-1, 0-0, 0-0) = (-2, 0, 0)$

$\vec{AE_1} = E_1 - A = (-\frac{1}{2}-1, -\frac{\sqrt{3}}{2}-0, 1-0) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $ADE_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{AD} \times \vec{AE_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 0 & 0 \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})) - \mathbf{j}(-2 \cdot 1 - 0 \cdot (-\frac{3}{2})) + \mathbf{k}(-2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 0 \cdot (-\frac{3}{2}))$

$\vec{n} = 0 \cdot \mathbf{i} - (-2) \cdot \mathbf{j} + (\sqrt{3}) \cdot \mathbf{k} = (0, 2, \sqrt{3})$

Уравнение плоскости имеет вид $Ax+By+Cz+D=0$. Используя координаты вектора нормали $\vec{n}=(0, 2, \sqrt{3})$, получаем:

$0x + 2y + \sqrt{3}z + D = 0$

Чтобы найти $D$, подставим координаты одной из точек, например, $A(1,0,0)$:

$0(1) + 2(0) + \sqrt{3}(0) + D = 0 \Rightarrow D = 0$

Таким образом, уравнение плоскости $ADE_1$ имеет вид:

$2y + \sqrt{3}z = 0$

Теперь найдём расстояние от точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ до плоскости $2y + \sqrt{3}z = 0$. Формула расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ выглядит так:

$d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

В нашем случае $A=0, B=2, C=\sqrt{3}, D=0$ и $x_0=\frac{1}{2}, y_0=\frac{\sqrt{3}}{2}, z_0=0$:

$d = \frac{|0 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \cdot 0 + 0|}{\sqrt{0^2+2^2+(\sqrt{3})^2}}$

$d = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{4+3}}$

$d = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:

$d = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Ответ:

$\frac{\sqrt{21}}{7}$