Номер 1, страница 166 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

1. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CA_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a=1$ (ед. длины).

Прямые $AB_1$ и $CA_1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $AB_1$ и $CA_1$.

Решение:

Введем декартову систему координат с началом в точке $A$. Ось $Ox$ направим по $AB$, ось $Oy$ по $AD$, ось $Oz$ по $AA_1$.

Координаты вершин куба: $A = (0,0,0)$, $B = (1,0,0)$, $C = (1,1,0)$, $D = (0,1,0)$, $A_1 = (0,0,1)$, $B_1 = (1,0,1)$, $C_1 = (1,1,1)$, $D_1 = (0,1,1)$.

Прямая $AB_1$ проходит через точки $A(0,0,0)$ и $B_1(1,0,1)$. Направляющий вектор $\vec{u} = \vec{AB_1} = (1-0, 0-0, 1-0) = (1,0,1)$.

Прямая $CA_1$ проходит через точки $C(1,1,0)$ и $A_1(0,0,1)$. Направляющий вектор $\vec{v} = \vec{CA_1} = (0-1, 0-1, 1-0) = (-1,-1,1)$.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $L_1: P_1 + t\vec{u}$ и $L_2: P_2 + s\vec{v}$ используем формулу:

$d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$

Выберем точки на прямых: $P_1 = A = (0,0,0)$ и $P_2 = C = (1,1,0)$.

Вектор $\vec{P_1P_2} = \vec{C} - \vec{A} = (1,1,0) - (0,0,0) = (1,1,0)$.

Найдем векторное произведение направляющих векторов $\vec{u} \times \vec{v}$:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) + \vec{k}(1 \cdot (-1) - 0 \cdot (-1))$

$\vec{u} \times \vec{v} = (1, -2, -1)$.

Вычислим скалярное произведение $(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})$:

$(1,1,0) \cdot (1,-2,-1) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) + 0 \cdot (-1) = 1 - 2 + 0 = -1$.

Вычислим модуль векторного произведения $|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$.

Теперь подставим значения в формулу расстояния:

$d = \frac{|-1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$d = \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $AB_1$ и $CA_1$ равно $\frac{\sqrt{6}}{6}$.