Номер 5, страница 166 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

5. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $B_1D_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (единица измерения длины).

Найти:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $B_1D_1$.

Решение:

Введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат совпадает с вершиной $B(0,0,0)$.Оси координат направим вдоль ребер $BA$, $BC$, $BB_1$ соответственно.Так как куб единичный, длина его ребра равна 1.Координаты необходимых вершин:$B = (0,0,0)$$A_1 = (1,0,1)$$B_1 = (0,0,1)$$D_1 = (1,1,1)$

Определим направляющие векторы прямых и вектор, соединяющий точку на одной прямой с точкой на другой.Направляющий вектор прямой $BA_1$: $\vec{v_1} = \vec{BA_1} = A_1 - B = (1,0,1) - (0,0,0) = (1,0,1)$.

Направляющий вектор прямой $B_1D_1$: $\vec{v_2} = \vec{B_1D_1} = D_1 - B_1 = (1,1,1) - (0,0,1) = (1,1,0)$.

Вектор, соединяющий точку $B$ (на прямой $BA_1$) и точку $B_1$ (на прямой $B_1D_1$): $\vec{P_1P_2} = \vec{BB_1} = B_1 - B = (0,0,1) - (0,0,0) = (0,0,1)$.

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми вычисляется по формуле:$d = \frac{|\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

Вычислим векторное произведение направляющих векторов $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - \vec{j}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) + \vec{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) = -1\vec{i} + 1\vec{j} + 1\vec{k} = (-1, 1, 1)$.

Вычислим модуль этого векторного произведения:$||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Вычислим смешанное произведение $\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})$:$\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (0,0,1) \cdot (-1,1,1) = 0 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 1$.

Подставляем полученные значения в формулу для расстояния:$d = \frac{|1|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Рационализируем знаменатель:$d = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}}{3}$