Номер 10, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $SB$ и $AC$.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$. Все ребра равны 1: $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $SB$ и $AC$.

Решение:

Обозначим длину любого ребра пирамиды как $a=1$. Поскольку пирамида $SABCD$ является правильной четырехугольной, ее основание $ABCD$ — квадрат со стороной $a=1$. Вершина $S$ проецируется в центр основания $O$. Диагональ основания $AC$ квадрата $ABCD$ равна $AC = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Точка $O$ является центром квадрата, поэтому она является серединой диагоналей $AC$ и $BD$. Значит, $OA = OB = OC = OD = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Рассмотрим треугольник $SOB$. Поскольку $SO$ — это высота пирамиды, она перпендикулярна плоскости основания $ABCD$, а значит, и отрезку $OB$, лежащему в этой плоскости. Следовательно, треугольник $SOB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$. По теореме Пифагора для $\triangle SOB$: $SO^2 + OB^2 = SB^2$. Мы знаем $SB = 1$ (боковое ребро) и $OB = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Вычислим высоту $SO$: $SO^2 = SB^2 - OB^2 = 1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Таким образом, $SO = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь определим взаимное расположение прямых $SB$ и $AC$. Прямая $AC$ лежит в плоскости основания $ABCD$. В квадрате $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$. Это означает, что $SO$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и $AC$. То есть, $SO \perp AC$. Прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BD$ и $SO$, которые лежат в плоскости $SBD$. Следовательно, прямая $AC$ перпендикулярна всей плоскости $SBD$.

Поскольку $AC \perp \text{плоскости } SBD$, то $AC$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $SBD$. Прямая $SB$ лежит в плоскости $SBD$. Значит, $AC \perp SB$. Так как прямые $AC$ и $SB$ являются скрещивающимися и взаимно перпендикулярными, расстояние между ними равно длине их общего перпендикуляра. Точка $O$ лежит на прямой $AC$. Мы можем найти расстояние от точки $O$ до прямой $SB$. Поскольку $AC \perp \text{плоскости } SBD$, любой перпендикуляр, опущенный из точки $O$ (лежащей на $AC$) на прямую $SB$ (лежащую в плоскости $SBD$), будет перпендикулярен также и прямой $AC$. Таким образом, этот перпендикуляр и будет общим перпендикуляром между $AC$ и $SB$. Пусть $OK$ — это высота, опущенная из вершины $O$ на гипотенузу $SB$ в прямоугольном треугольнике $SOB$. Длина $OK$ и будет искомым расстоянием.

В прямоугольном треугольнике $SOB$: Катеты: $SO = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $OB = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Гипотенуза: $SB = 1$. Площадь треугольника $SOB$ можно выразить как половину произведения катетов: $S_{\triangle SOB} = \frac{1}{2} \cdot SO \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$. Также площадь треугольника можно выразить как половину произведения гипотенузы на высоту, опущенную на нее: $S_{\triangle SOB} = \frac{1}{2} \cdot SB \cdot OK$. Приравнивая два выражения для площади: $\frac{1}{2} \cdot SB \cdot OK = \frac{1}{4}$ $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot OK = \frac{1}{4}$ $OK = \frac{1}{2}$.

Ответ:

$0.5$