Номер 11, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

11. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $SB$ и $AD$.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Все ребра пирамиды равны 1. То есть, $AB=BC=CD=DA=SA=SB=SC=SD=1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (условная единица длины, т.к. задача не указывает конкретные единицы измерения).

Найти:

Расстояние между прямыми $SB$ и $AD$.

Решение:

1. Установим систему координат.

Поместим центр основания пирамиды, точку $O$, в начало координат $(0,0,0)$. Основание $ABCD$ лежит в плоскости $xy$.

Так как пирамида правильная и все её ребра равны 1, основание $ABCD$ является квадратом со стороной 1. Длина диагонали основания $AC = BD = \sqrt{AB^2+BC^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.

Расстояние от центра основания до любой вершины основания равно половине диагонали: $OB = \frac{1}{2}BD = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Высота пирамиды $SO$ находится из прямоугольного треугольника $SOB$ (где $SB$ - гипотенуза):

$SO = \sqrt{SB^2 - OB^2} = \sqrt{1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Координаты вершин:

Вершина $S = \left(0, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Вершины основания $ABCD$ можно расположить в плоскости $xy$ следующим образом:

$A = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$

$B = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$

$C = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$

$D = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$

Проверим, например, длину стороны $AB$: $AB = \sqrt{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2})\right)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$. Координаты выбраны верно.

2. Определим векторы и точки для прямых $SB$ и $AD$.

Для прямой $AD$:

Точка на прямой $P_1 = A = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$.

Направляющий вектор $\vec{u} = \vec{AD} = D - A = \left(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), 0 - 0\right) = (-1, 0, 0)$. Для удобства можно использовать пропорциональный ему вектор $\vec{u} = (1, 0, 0)$.

Для прямой $SB$:

Точка на прямой $P_2 = S = \left(0, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Направляющий вектор $\vec{v} = \vec{SB} = B - S = \left(\frac{1}{2} - 0, \frac{1}{2} - 0, 0 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Для удобства можно использовать пропорциональный ему вектор $\vec{v} = (1, 1, -\sqrt{2})$ (умножив на 2).

3. Вычислим расстояние между скрещивающимися прямыми по формуле.

Расстояние $d$ между двумя скрещивающимися прямыми, заданными точками $P_1$ и $P_2$ и направляющими векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_1 P_2} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}))|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$

Вектор $\vec{P_1 P_2} = \vec{AS} = S - A = \left(0 - \frac{1}{2}, 0 - (-\frac{1}{2}), \frac{\sqrt{2}}{2} - 0\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Векторное произведение $\vec{u} \times \vec{v}$:

$\vec{u} \times \vec{v} = (1, 0, 0) \times (1, 1, -\sqrt{2}) = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -\sqrt{2} \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot (-\sqrt{2}) - 0 \cdot 1) - \vec{j}(1 \cdot (-\sqrt{2}) - 0 \cdot 1) + \vec{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) = (0, \sqrt{2}, 1)$.

Смешанное произведение $(\vec{P_1 P_2} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}))$ (числитель формулы):

$(\vec{P_1 P_2} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})) = \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot 0 + \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \sqrt{2} + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot 1 = 0 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

Модуль векторного произведения $|\vec{u} \times \vec{v}|$ (знаменатель формулы):

$|\vec{u} \times \vec{v}| = |(0, \sqrt{2}, 1)| = \sqrt{0^2 + (\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 2 + 1} = \sqrt{3}$.

Расстояние $d$:

$d = \frac{|\sqrt{2}|}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $SB$ и $AD$ равно $\frac{\sqrt{6}}{3}$.