Номер 15, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми $SB$ и $CD$.

Дано:

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ $a = 1$.

Боковые ребра пирамиды $l = 2$.

Перевод в СИ: Поскольку величины заданы без единиц измерения, будем считать их безразмерными.

Найти:

Расстояние между прямыми $SB$ и $CD$.

Решение:

1. Определим координаты вершин пирамиды. Пусть центр основания $O$ находится в начале координат $(0, 0, 0)$.

Поскольку основание - правильный шестиугольник со стороной $a=1$, радиус описанной окружности также равен $1$. Координаты вершин основания (например, располагая вершину $A$ на оси $Ox$):

$A = (1, 0, 0)$

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

2. Найдем высоту пирамиды $h = SO$. В правильной пирамиде вершина $S$ проецируется в центр основания $O$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOB$.

$SO^2 + OB^2 = SB^2$

$h^2 + a^2 = l^2$

$h^2 + 1^2 = 2^2$

$h^2 + 1 = 4$

$h^2 = 3 \Rightarrow h = \sqrt{3}$

Таким образом, координаты вершины $S$ равны $S = (0, 0, \sqrt{3})$.

3. Найдем направляющие векторы прямых $SB$ и $CD$.

Вектор $\vec{d_1} = \vec{SB} = B - S = (1/2 - 0, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (1/2, \sqrt{3}/2, -\sqrt{3})$.

Вектор $\vec{d_2} = \vec{CD} = D - C = (-1 - (-1/2), 0 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

4. Найдем вектор, соединяющий точку на первой прямой с точкой на второй прямой. Возьмем точку $B$ на прямой $SB$ и точку $C$ на прямой $CD$.

Вектор $\vec{BC} = C - B = (-1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-1, 0, 0)$.

5. Вычислим смешанное произведение векторов. Расстояние между скрещивающимися прямыми $L_1$ и $L_2$ определяется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{r_2} - \vec{r_1}) \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2})|}{|\vec{d_1} \times \vec{d_2}|}$

Сначала найдем векторное произведение $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$:

$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & -\sqrt{3} \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i}((\sqrt{3}/2) \cdot 0 - (-\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j}((1/2) \cdot 0 - (-\sqrt{3}) \cdot (-1/2)) + \mathbf{k}((1/2) \cdot (-\sqrt{3}/2) - (\sqrt{3}/2) \cdot (-1/2))$

$= \mathbf{i}(0 - 3/2) - \mathbf{j}(0 - \sqrt{3}/2) + \mathbf{k}(-\sqrt{3}/4 + \sqrt{3}/4)$

$= (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$

Теперь найдем модуль этого векторного произведения:

$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{(-3/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{9/4 + 3/4} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$.

Далее вычислим скалярное произведение вектора $\vec{BC}$ с векторным произведением:

$\vec{BC} \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2}) = (-1, 0, 0) \cdot (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$= (-1) \cdot (-3/2) + 0 \cdot (\sqrt{3}/2) + 0 \cdot 0 = 3/2$.

6. Подставим значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|3/2|}{\sqrt{3}} = \frac{3/2}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$

Рационализируем знаменатель:

$d = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $SB$ и $CD$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.