Номер 20, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми $SB$ и $CE$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Длина стороны основания $a = 1$.

Длина бокового ребра $l = 2$.

Перевод в СИ:

В данной задаче используются безразмерные единицы длины. Перевод в систему СИ не требуется, так как ответ будет также в безразмерных единицах.

Найти:

Расстояние между прямыми $SB$ и $CE$.

Решение

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $SB$ и $CE$ используем метод координат.

Поместим центр основания шестиугольной пирамиды, точку $O$, в начало координат $(0, 0, 0)$. Основание $ABCDEF$ лежит в плоскости $Oxy$.

В правильном шестиугольнике сторона $a$ равна радиусу описанной окружности, т.е. расстояние от центра $O$ до любой вершины основания равно $a=1$.

Найдем высоту пирамиды $h$. Вершина $S$ находится на оси $Oz$.Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром $SA$, высотой пирамиды $SO$ и отрезком $OA$. По теореме Пифагора: $SO^2 + OA^2 = SA^2$.$h^2 + a^2 = l^2$$h^2 + 1^2 = 2^2$$h^2 + 1 = 4$$h^2 = 3$$h = \sqrt{3}$Таким образом, координаты вершины $S = (0, 0, \sqrt{3})$.

Теперь определим координаты вершин основания. Расположим их таким образом, чтобы ось $Ox$ проходила через вершину $A$.$A = (1, 0, 0)$Тогда координаты остальных вершин правильного шестиугольника с центром в начале координат и стороной 1 будут:$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$$D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$$F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Для вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми $SB$ и $CE$, нам нужны:1. Точка на первой прямой ($M_1$) и ее направляющий вектор ($\vec{u_1}$).2. Точка на второй прямой ($M_2$) и ее направляющий вектор ($\vec{u_2}$).

Выберем точку $S$ как $M_1$ и точку $C$ как $M_2$.$M_1 = S = (0, 0, \sqrt{3})$$M_2 = C = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Найдем направляющий вектор прямой $SB$:$\vec{u_1} = \vec{SB} = B - S = (\frac{1}{2} - 0, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - \sqrt{3}) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{3})$

Найдем направляющий вектор прямой $CE$:$\vec{u_2} = \vec{CE} = E - C = (-\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 0)$

Вектор, соединяющий точки на прямых:$\vec{M_1M_2} = \vec{SC} = C - S = (-\frac{1}{2} - 0, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - \sqrt{3}) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{3})$

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми определяется по формуле:$d = \frac{|\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{u_1} \times \vec{u_2})|}{|\vec{u_1} \times \vec{u_2}|}$

Сначала вычислим векторное произведение $\vec{u_1} \times \vec{u_2}$:$\vec{u_1} \times \vec{u_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\sqrt{3} \\ 0 & -\sqrt{3} & 0 \end{vmatrix}$$= \vec{i} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 - (-\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{3}) \right) - \vec{j} \left( \frac{1}{2} \cdot 0 - (-\sqrt{3}) \cdot 0 \right) + \vec{k} \left( \frac{1}{2} \cdot (-\sqrt{3}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 \right)$$= \vec{i}(0 - 3) - \vec{j}(0 - 0) + \vec{k}(-\frac{\sqrt{3}}{2} - 0)$$= (-3, 0, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Найдем модуль этого векторного произведения:$|\vec{u_1} \times \vec{u_2}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{9 + 0 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{36}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{39}{4}} = \frac{\sqrt{39}}{2}$

Теперь вычислим смешанное произведение $\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{u_1} \times \vec{u_2})$:$\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{u_1} \times \vec{u_2}) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{3}) \cdot (-3, 0, -\frac{\sqrt{3}}{2})$$= (-\frac{1}{2}) \cdot (-3) + (\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 0 + (-\sqrt{3}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$$= \frac{3}{2} + 0 + \frac{3}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Подставим полученные значения в формулу для расстояния $d$:$d = \frac{|3|}{\frac{\sqrt{39}}{2}} = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{39}} = \frac{6}{\sqrt{39}}$

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{39}$:$d = \frac{6\sqrt{39}}{\sqrt{39} \cdot \sqrt{39}} = \frac{6\sqrt{39}}{39}$

Сократим дробь на 3:$d = \frac{2\sqrt{39}}{13}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{39}}{13}$