Номер 19, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми $SB$ и $AE$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.
Сторона основания $a = AB = 1$.
Боковое ребро $l = SB = 2$.

Перевод в СИ:

Поскольку в условии не указаны единицы измерения, данные значения принимаются как безразмерные или в произвольных единицах, не требующих перевода в СИ.

Найти:

Расстояние между прямыми $SB$ и $AE$.

Решение:

1. Установим систему координат. Пусть центр основания шестиугольной пирамиды, точка $O$, находится в начале координат $(0,0,0)$. Ось $Ox$ направим вдоль $OA$, ось $Oy$ - перпендикулярно $Ox$ в плоскости основания, ось $Oz$ - вверх вдоль высоты пирамиды.

2. Определим координаты вершин основания. Поскольку основание - правильный шестиугольник со стороной $a=1$, расстояние от центра до любой вершины равно стороне шестиугольника.
Координаты вершин:
$A = (1, 0, 0)$
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

3. Найдем координаты вершины $S$. Вершина $S$ находится на оси $Oz$. Найдем высоту пирамиды $H=SO$. В прямоугольном треугольнике $SOB$: $SB^2 = SO^2 + OB^2$.
$l^2 = H^2 + a^2$
$2^2 = H^2 + 1^2$
$4 = H^2 + 1$
$H^2 = 3$
$H = \sqrt{3}$
Таким образом, $S = (0, 0, \sqrt{3})$.

4. Определим направляющие векторы и точки на прямых $SB$ и $AE$.
Для прямой $AE$: Возьмем точку $P_1 = A = (1,0,0)$.
Направляющий вектор $\vec{u} = \vec{AE} = E - A = (-1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.
Для прямой $SB$: Возьмем точку $P_2 = S = (0,0,\sqrt{3})$.
Направляющий вектор $\vec{v} = \vec{SB} = B - S = (1/2 - 0, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (1/2, \sqrt{3}/2, -\sqrt{3})$.

5. Вычислим вектор $\vec{P_2} - \vec{P_1}$:
$\vec{P_2} - \vec{P_1} = S - A = (0 - 1, 0 - 0, \sqrt{3} - 0) = (-1, 0, \sqrt{3})$.

6. Вычислим векторное произведение направляющих векторов $\vec{u} \times \vec{v}$:
$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & -\sqrt{3} \end{vmatrix}$
$= \mathbf{i} \left( (-\frac{\sqrt{3}}{2})(-\sqrt{3}) - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \mathbf{j} \left( (-\frac{3}{2})(-\sqrt{3}) - 0 \cdot \frac{1}{2} \right) + \mathbf{k} \left( (-\frac{3}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) - (-\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{2}) \right)$
$= \mathbf{i} \left( \frac{3}{2} - 0 \right) - \mathbf{j} \left( \frac{3\sqrt{3}}{2} - 0 \right) + \mathbf{k} \left( -\frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right)$
$= (\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{2\sqrt{3}}{4})$
$= (\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

7. Вычислим модуль векторного произведения $|\vec{u} \times \vec{v}|$:
$|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-\frac{3\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2}$
$= \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9 \cdot 3}{4} + \frac{3}{4}}$
$= \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{27}{4} + \frac{3}{4}}$
$= \sqrt{\frac{9+27+3}{4}}$
$= \sqrt{\frac{39}{4}} = \frac{\sqrt{39}}{2}$

8. Вычислим смешанное произведение $(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})$:
$(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = (-1)(\frac{3}{2}) + (0)(-\frac{3\sqrt{3}}{2}) + (\sqrt{3})(-\frac{\sqrt{3}}{2})$
$= -\frac{3}{2} + 0 - \frac{3}{2}$
$= -\frac{6}{2} = -3$

9. Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми определяется по формуле:
$d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$
$d = \frac{|-3|}{\frac{\sqrt{39}}{2}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{39}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{39}}$
Рационализируем знаменатель:
$d = \frac{6\sqrt{39}}{39} = \frac{2\sqrt{39}}{13}$

Ответ:

Расстояние между прямыми $SB$ и $AE$ равно $ \frac{2\sqrt{39}}{13} $.