Номер 26, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

26. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CB_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Перевод в СИ:

Длины ребер уже даны в безразмерных единицах, которые могут быть интерпретированы как единицы СИ (например, метры). Перевод не требуется.

Найти:

Расстояние между прямыми $AB$ и $CB_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CB_1$ воспользуемся методом координат. Поместим начало координат в вершину $A$.

Ориентируем основание призмы $ABC$ в плоскости $Oxy$ следующим образом:

• Точка $A$ находится в начале координат: $A=(0,0,0)$.

• Ребро $AB$ лежит на оси $Ox$. Так как длина ребра равна 1, координаты точки $B$ будут $B=(1,0,0)$.

• Для точки $C$ в основании, зная, что треугольник $ABC$ равносторонний со стороной 1, ее координаты можно найти, используя высоту равностороннего треугольника $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$. Проекция $C$ на ось $Ox$ будет $x_C = \frac{1}{2}$ (середина $AB$), а ордината $y_C = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $C=(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Поскольку призма правильная, боковые ребра перпендикулярны основаниям и их длина также равна 1. Координаты вершин верхнего основания ($z=1$):

• $A_1=(0,0,1)$

• $B_1=(1,0,1)$

• $C_1=(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Теперь определим векторы направлений и точки для каждой из прямых:

Прямая $AB$:

• Точка на прямой $P_1 = A = (0,0,0)$.

• Вектор направления $\vec{u} = \vec{AB} = B - A = (1-0, 0-0, 0-0) = (1,0,0)$.

Прямая $CB_1$:

• Точка на прямой $P_2 = C = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

• Вектор направления $\vec{v} = \vec{CB_1} = B_1 - C = (1-\frac{1}{2}, 0-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми используется формула:

$d = \frac{|\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$

Найдем вектор $\vec{P_1P_2} = \vec{AC} = C - A = (\frac{1}{2}-0, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0-0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Найдем векторное произведение $\vec{u} \times \vec{v}$:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot \frac{1}{2}) + \vec{k}(1 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 0 \cdot \frac{1}{2})$

$\vec{u} \times \vec{v} = (0, -1, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Найдем смешанное произведение $\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})$:

$(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \cdot (0, -1, -\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-1) + 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$= 0 - \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Найдем модуль векторного произведения $|\vec{u} \times \vec{v}| = |(0, -1, -\frac{\sqrt{3}}{2})|$:

$|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{0 + 1 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{4+3}{4}} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

Теперь подставим найденные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|-\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\frac{\sqrt{7}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:

$d = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Ответ:

Расстояние между прямыми $AB$ и $CB_1$ равно $\frac{\sqrt{21}}{7}$.