Номер 30, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

30. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $C_1D_1$.

Дано

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - правильная шестиугольная призма.

Длина всех ребер $a = 1$.

Найти

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $C_1D_1$.

Решение

Прямая $BB_1$ является боковым ребром правильной призмы, следовательно, она перпендикулярна плоскостям оснований. Прямая $C_1D_1$ лежит в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Таким образом, расстояние между прямыми $BB_1$ и $C_1D_1$ равно расстоянию от точки $B_1$ (которая является точкой пересечения прямой $BB_1$ с плоскостью верхнего основания) до прямой $C_1D_1$ в плоскости этого основания.

Рассмотрим верхнее основание - правильный шестиугольник $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ со стороной $a=1$. Нам нужно найти расстояние от вершины $B_1$ до стороны $C_1D_1$.

Введем систему координат в плоскости верхнего основания. Пусть центр шестиугольника $O_1$ находится в начале координат $(0,0)$. Так как длина стороны правильного шестиугольника равна 1, то радиус описанной окружности также равен 1.

Координаты вершин $B_1$, $C_1$, $D_1$ относительно центра $O_1$ (предполагая, что $A_1$ находится на положительной оси абсцисс):

$B_1 = (a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ)) = (1 \cdot 1/2, 1 \cdot \sqrt{3}/2) = (1/2, \sqrt{3}/2)$

$C_1 = (a \cos(120^\circ), a \sin(120^\circ)) = (1 \cdot (-1/2), 1 \cdot \sqrt{3}/2) = (-1/2, \sqrt{3}/2)$

$D_1 = (a \cos(180^\circ), a \sin(180^\circ)) = (1 \cdot (-1), 1 \cdot 0) = (-1, 0)$

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $C_1(-1/2, \sqrt{3}/2)$ и $D_1(-1, 0)$.

Угловой коэффициент $m = \frac{y_{D_1} - y_{C_1}}{x_{D_1} - x_{C_1}} = \frac{0 - \sqrt{3}/2}{-1 - (-1/2)} = \frac{-\sqrt{3}/2}{-1/2} = \sqrt{3}$.

Используя уравнение прямой $y - y_1 = m(x - x_1)$ с точкой $D_1(-1, 0)$:

$y - 0 = \sqrt{3}(x - (-1))$

$y = \sqrt{3}x + \sqrt{3}$

Приведем уравнение к общему виду $Ax + By + C = 0$:

$\sqrt{3}x - y + \sqrt{3} = 0$.

Расстояние от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

В нашем случае, точка $B_1(x_0, y_0) = (1/2, \sqrt{3}/2)$, и прямая $\sqrt{3}x - y + \sqrt{3} = 0$. Подставляем значения $A = \sqrt{3}$, $B = -1$, $C = \sqrt{3}$:

$d = \frac{|\sqrt{3} \cdot (1/2) - (\sqrt{3}/2) + \sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}}$

$d = \frac{|\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2 + \sqrt{3}|}{\sqrt{3 + 1}}$

$d = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{4}}$

$d = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$